<하양짱샘수학>거리곱, 실전 문제 완벽하게 익히기 (수능 유형 연습)

지난 글에서 "거리곱"의 세 가지 기본 원리

① 함숫값 거리곱

② 미분계수 거리곱

③ 도함수 거리곱

을 정리해봤는데요.

개념만 알고 넘어가면 실제 문제에서는 어떻게 써야 할지 감이 잘 안 잡히실 거예요.

오늘은 짱샘수학에서 실제 수능 유형에 가까운 문제로 직접 적용하는 연습을 해보겠습니다.

지난 글을 못 보셨다면 먼저 읽고 오시는 걸 추천해요.

오늘 예제는 그 개념을 안다는 전제로 풀이가 진행됩니다.

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예제 1. 함숫값 거리곱 — 미지수 구하기

문제:

풀이:

함숫값 거리곱 공식에 그대로 대입합니다.

x=0에서 각 근까지의 거리를 곱하면,

답: a=2

함수를 전개할 필요 없이, 인수분해된 상태 그대로 대입 한 번으로 끝났습니다.

 

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예제 2. 미분계수 거리곱 — 근에서의 기울기 구하기

문제:

풀이:

근 x=2에서의 미분계수를 구하는 것이므로, 미분계수 거리곱 공식을 사용합니다.

x=2가 아닌 다른 두 근 -1, 5까지의 거리만 곱하면 됩니다.

답: -18

만약 이 문제를 도함수를 직접 구해서 풀었다면,

f(x)를 전개하고 미분한 뒤 x=2를 대입하는 훨씬 긴 과정을 거쳐야 했을 거예요.

 

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예제 3. 도함수 거리곱 — 극값 조건에서 계수 구하기

문제:

​

풀이

f가 x=-1, x=3에서 극값을 가진다는 것은,

f'(x)=0의 두 해가 -1, 3이라는 뜻입니다.

f의 최고차항 계수가 a이므로, f'(x)의 최고차항 계수는 3a가 됩니다.

여기에 x=0을 대입하면:

답: a=2

이 문제는 f(x)의 실제 식을 전혀 몰라도,

극값의 위치와 미분계수 조건 하나만으로 최고차항의 계수까지 알아낸 경우입니다.

도함수 거리곱이 가장 위력을 발휘하는 유형이에요.

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예제 4. 종합문제 — 함숫값 거리곱 + 미분계수 거리곱

문제:

풀이

1단계 — 함숫값 거리곱으로 a 구하기

2단계 — 미분계수 거리곱으로 f'(-1) 구하기

근 x=-1에서 다른 두 근 2, 4까지의 거리를 곱합니다.

답: a=2, f'(-1)=30

이렇게 한 문제 안에서 두 가지 거리곱을 순서대로 쓰는 경우가

실제 시험에서 가장 흔한 출제 패턴입니다.

먼저 미지수를 확정하고, 그 다음 원하는 값을 구하는 2단계 구조를 기억해두세요.

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마무리하며

오늘 다룬 네 문제는 실제 수능이나 내신 서술형에서 자주 보이는 구조입니다.

공통점을 하나 짚어드리면,

"함수식을 전개하지 않고, 인수분해된 형태 그대로 근과 거리 정보만 활용한다"는 점이에요.

이 감각이 익숙해지면 계산 시간이 눈에 띄게 줄어듭니다.

다만 지난 글에서도 말씀드렸듯, 이 스킬은 원리를 이해한 다음에 익혀야 진짜 실력이 됩니다.

짱샘수학에서는 이런 실전 스킬을 다룰 때도 "왜 이 공식이 나왔는지" 증명부터 짚고,

그 다음 이런 실전 문제로 적용력을 확인하는 순서로 수업을 진행하고 있습니다.