하양짱샘수학이야기

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수학에서 산술 평균은 주어진 수의 합을 수의 개수로 나눈 값입니다.

n개의 수 a₁, a2, a₃, …, a_n가 있을 때, 이 수의 산술평균 A는 다음과 같습니다.

평균은 수학에서 두 가지 서로 연관된 뜻이 있습니다.

​

평균은 average로 이와 유사하지만 통계집단의 특성을 한 개의 수치로 나타내는 대푯값의 일종인 평균(mean)이 있는데, 여기에는 평균값을 얻는 방법에 따라 산술평균, 기하평균, 조화평균이 있습니다.

​

보통 평균이라고 부르는 것은 산술 평균입니다. 기하 평균이나 조화 평균과는 구별됩니다. 이 평균은 표본 평균이라고도 합니다.

확률변수의 기댓값. 모평균이라고도 합니다.

​

평균은 통계학뿐만 아니라 기하학이나 해석학에서도 쓰입니다. 이러한 목적으로 통계학에서는 그다지 많이 쓰이지 않는 다양한 평균이 고안되었죠. 이러한 평균에 관해서는 다음 포스팅에서 설명 하겠습니다.

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표본 평균은 대푯값으로 많이 쓰입니다.

​

자료 집합에 대한 평균은 단순히 모든 관측값을 더해서 관측값 개수로 나눈 값입니다.

일단 자료 집합의 공통성을 이렇게 설명하기로 하면, 관측값이 어떻게 다른지 설명하는 데는 보통 표준편차를 사용합니다.

표준편차는 (평균에 대한) 편차 제곱을 평균한 값의 제곱근 값입니다.

​

평균은 편차 제곱의 합이 최소가 되는 값입니다.

산술평균, 기하평균, 조화평균 외에도 여러가지의 평균이 있지만, 자주 사용하게 될 산술평균, 기하평균, 조화평균을 다뤄 보도록 하겠습니다.

​

​

10. 어느 음식점을 이용하는 고객 중 80%는 A메뉴를 주문한다고 한다. 이 음식점을 이용하는 고객 중 100명 을 임의 추출하여 조사할 때, A메뉴를 주문하지 않을 비율이 26% 이상일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [5.0점]

sol) 이 음식점을 이용하는 고객 중 A메뉴를 주문하지 않을 확률은 1-0.8 = 0.2 그러므로 이 음식점을 이용한 고객 중 임의 추출한 100명에서 A메뉴를 주문하지 않을 비율을 p라 하면,

$E\left(\hat{p}\right)=0.2,\ V\left(\hat{p}\right)=\frac{0.2\times 0.8}{100}=\combi{0.04}^2$E(^p)=0.2, V(^p)=0.2×0.8100​=0.042​

이므로 표본비율 p은 근사적으로 정규분포 N(0.2, 0.042)을 따른다.

이때

$Z=\frac{\hat{p}-0.2}{0.04}$Z=^p−0.20.04​​

로 놓으면 확률변수 Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0,1)을 따르므로 구하는 확률은

$P(\hat{p}\ge 0.26)$P(^p≥0.26)​

$=P(Z\ge \frac{0.26-0.2}{0.04})$=P(Z≥0.26−0.20.04​)​

$=P(Z\ge 1.5)$=P(Z≥1.5)​

$=0.5-0.4332$=0.5−0.4332​

$=0.0668$=0.0668​

​

4. 서로 다른 주사위 2개를 동시에 던질 때, 나온 두 눈의 수의 곱이 홀수이면 수직선 위에서 오른쪽으로 3칸, 짝수이면 왼쪽으로 1칸 움직인다고 한다. 원점에서 출발하여 이 시행을 48번 반복할 때, 위치가 -4 이상일 확률을 위의 표준정규분포표를 이용하여 구하면? [5.0점] 

sol) 두 눈의 수의 곱이 홀수가 나오는 경우는 (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) 9개 입니다.

두 눈의 수의 곱이 홀수가 나오는 횟수를 확률변수X라 하면 

확률변수 X는 이항분포

을 따르므로 X는 근사적으로 정규분포 N(12, 32 ) 따른다.

두 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수가 X이면 짝수인 경우의 수는 48-X이므로 수직선상에서의 위치는