하양짱샘수학이야기

주어진 집합의 임의의 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 합니다.

​

실수의 집합에서 성립하는 절대부등식

a, b가 실수일 때,

$①\ a>b\ ⟺\ a−b>0$① a>b ⟺ a−b>0​

$②\ a^2\ge 0$② a2≥0​

$③\ a^2+b^2\ge 0$③ a2+b2≥0​

$④\ a^2+b^2=0\ ⟺\ a=b=0$④ a2+b2=0 ⟺ a=b=0​

$⑤\ |a|^2=a^2,\ |a||b|=|ab|,\ |a|\ge a$⑤ |a|2=a2, |a||b|=|ab|, |a|≥a​

$⑥\ a>0,b>0일때,\ a>b\ ⟺\ a^2>b^2$⑥ a>0,b>0일때, a>b ⟺ a2>b2​

실수의 제곱

임의의 실수 x에 대하여

$x^2\ge 0$x2≥0​

이 성립한다. 이때, 등호는 x=0일 때만 성립합니다.

일반적으로 n개의 실수 x1, x2, …, xn에 대하여

$x_1^2+x_2^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2\ge 0$x21​+x22​+···+x2n​≥0​

이 성립합니다. 등호는 x1= x2= …= xn=0 일 때 성립합니다.

​

위의 방법을 이용하여 완전 제곱식을 만들어 이용하면 실수 전체의 집합에서 다음의 절대 부등식을 얻을 수 있습니다.

​

a, b, c가 실수 일때

$①\ a^2+ab+b^2\ge 0$① a2+ab+b2≥0​

$②\ \ a^2-ab+b^2\ge 0$②  a2−ab+b2≥0​

(단, 등호는 a = b = 0일 때 성립)

$③\ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$③ a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0​

(단, 등호는 a = b = c 일 때 성립)

$⑤\ |a|+|b|=|a+b|$⑤ |a|+|b|=|a+b|​

$⑥\ |a−b|\ge |a|−|b|$⑥ |a−b|≥|a|−|b|​

(단, 등호는 ab ≥ 0 일 때 성립)

수학에서, 다각수(多角數, 영어: polygonal number)는 삼각수와 정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수입니다.

​

고대 그리스 시대에 피타고라스학파는 “모든 것은 수이다”라 생각하여 모든 것을 수와 관련지어 생각했습니다. 심지어 도형도 숫자를 이용하여 표현하고 그 도형과 수와의 관계도 연구하였습니다.

​

기하학적으로 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타냅니다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 두 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 됩니다. 이 경우 늘리려는 두 변에 각각 한 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가됩니다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬(영어: gnomon)이라고 부릅니다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열의 부분합을 나타내며, 그노몬은 이 등차 수열의 각 항에 대응합니다.

​

먼저 삼각수를 보겠습니다.

삼각수는 간단히 말하자면, 동일한 물건을 정삼각형 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수입니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정삼각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이 때 각각의 정삼각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들, 즉 1, 3, 6, 10, 15···에서 각각의 수가 삼각수에 해당하지요.

그럼 사각수는 어떤 것일까? 사각수는 말 그대로 정사각형 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수랍니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정사각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이때 각각의 정사각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들, 즉 1, 4, 9, 16, 25···에서 각각의 수가 사각수에 해당합니다.

위의 삼각수와 사각수를 이해했다면 오각수도 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정오각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이 때 각각의 정오각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들 1, 5, 12, 22, 35, ···에서 각각의 수가 오각수에 해당하는 것입니다.

다각수의 첫 항은 1로 모두 같습니다. 그리고 자연스럽게 다음과 같은 의문을 가질 수 있습니다. 첫 항을 제외하고 그 다음으로 삼각수와 사각수가 같아지는 항들을 찾을 수 있을까요? 일반항을 이용하면 8번째 삼각수가 36이므로 6번째 사각수와 같음을 알 수 있습니다. 이와 같은 방법으로 삼각수이면서 동시에 사각수인 수를 모두 찾을 수있을까요? 더 나아가 사각수이면서 동시에 오각수인 수를 찾을 수 있을까요? 또 그 개수는 얼마나 많을까요? 먼저 삼각수와 사각수를 생각해 보겠습니다.

​

m번째 삼각수와 n번째 사각수가 같다고 하면,

이 되고, 완전제곱식의 형태로 고쳐 봅니다.

여기서,

라고 하면,

(단, x, y >0 이고 x는 홀수, y 는 짝수)

의 자연수해를 구하는 문제로 바뀐다. 이 방정식을 펠의 방정식이라고 합니다.