하양짱샘수학이야기

빨간색 부분의 넓이를 구해보자.

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황도12궁

각의 크기,즉 각도를 측정하는 일반적 단위는 바빌로니아인들에 의해 만들어 졌다고 알려져 있는데,어떤 사람이 달력으로 쓰던 원둘레를 반지름으로 나누어 보았

더니 마치 60일 분을 표시해 둔 곳의 길이와 반지름의 길리와 같았고 계속해서 그 원의 둘레를 반지름으로 나누어 보니 알맞게도 6번으로 나누어지고 원래의 위치에

되돌아 올 수 있었습니다.그리하여 원둘레의 반지름의 길이로 자르면 6등분이 된다는 사실과 또 6등분을 한 하나의 호가 60일분을 표시한 것과 같은 길이임을 확실하게 알게 되었던 것이죠. 그리고다음에는 어떤원에서도 원둘레의 1/6에 해당하는 호의 양끝과 원의 중심을 이어 생긴,두 반지름 사이의 각은 모두 같은 것임을 알게 되

었고 나아가 이런 각을 조사해 보았더니 반대로,원둘레에 그려진 60일 분의 크기와 같았습니다.

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그래서 일정한 길이를 갖는 호에 대응하는 것의 크기는 항상 같음을 알게 되었고 이와 같은 각을 6개,차례로 붙여보면 마치 하나의 원이 되므로 원은 360이고 이360구분의 하나하나를 각이라도 이름을 지었다고합니다.

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이전 포스팅에도 언급한 바가 있으니 한번 찾아보시는것도 좋을것 같습니다. 여기

클라우디오스 프톨레마이오스

이런 360도 분할은 바빌로니아의 60진법에 잘 맞았고,나중에는 그리스인들에 의해 도입되어 프톨레마이오스가 현에 관한 표를 만드는데 사용되었습니다.

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수체계로서의 60진법은 현대 쓰이고 있지 않지만,원의 360도 분할을 여전히 사용하고 있습니다. 또 이런 원의 각은 분할 외에도 1시간을 60으로 나누고 1분을 60초로 나누는데 60진법의 흔적이 남아있습니다.

원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다. 톨레미 정리라고도 한다.

$\overline {AC}\times \overline {BC}=\overline {AB}\times \overline {CD}+\overline {BC}\times \overline {AD}$AC×BC=AB×CD+BC×AD​

∠CAD=∠BAE가 되도록 선분BD 위에 점 E를 잡습니다. ∠ABD와 ∠ACD는 원주각으로 서로 같습니다.

∴ △ADE 와 △ACB가 서로 닮음.

$\therefore \ \overline {AD}:\overline {DE}=\overline {AC}:\overline {BC}$∴ AD:DE=AC:BC​

$\therefore \ \overline {AD}\times \overline {BC}=\overline {DE}\times \overline {AC}\ \ ...\ \left(1\right)\ $∴ AD×BC=DE×AC  ... (1) ​

또, △ABE 와 △ACD도 서로 닮음.

$\therefore \ \overline {AB}:\overline {BE}=\overline {AC}:\overline {CD}$∴ AB:BE=AC:CD​

$\therefore \ \overline {AB}\times \overline {CD}=\overline {BE}\times \overline {AC}\ \ ...\ \left(2\right)\ $∴ AB×CD=BE×AC  ... (2) ​

(1)+(2)

$\therefore \ \overline {AC}\times \left(\overline {BE}+\overline {DE}\right)=\overline {AB}\times \overline {CD}\ +\overline {AD}\times \overline {BC}\ $∴ AC×(BE+DE)=AB×CD +AD×BC ​

$\overline {BE}+\overline {DE}=\overline {BD}이므로$BE+DE=BD이므로​

$\ \ \ \ \ \overline {AC}\times \overline {BD}=\overline {AB}\times \overline {CD}\ +\overline {AD}\times \overline {BC}$     AC×BD=AB×CD +AD×BC​

가 성립합니다.

수학을 시험을 치르다 보면 방정식문제던 함수 문제던 난이도가 높아 질 수록 삼각형의 넓이를 구하라는 문제가 나오는 경우를 자주봅니다.

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이번에 초등학교때 배웠던 밑변과 높이를 구할 수 있으면 쉽게 풀 수 있지만 그렇지 못할 경우엔 문제를 풀기가 까다로워지는 경우가 많습니다.

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짱샘과 같이 삼각형 넓이를 구하는 여러 가지 방법을 알아보고 그 증명도 같이 해 봅시다.

$A=\frac{1}{2}bh$

$A=\frac{1}{2}bh$A=12​bh​

초등학교 과정에서 배우는 가장 기초가 되는 삼각형의 넓이 구하는 공식입니다.

이 방법은 넓이의 기본인 사각형의 넓이를 이용한 방법입니다. 삼각형의 넓이가 사각형의 넓이의 반이 된다는 것을 이용한 것이죠.

                                

이 방법에서 삼각형의 넓이는 밑변과 높이가 같으면 넓이가 같다는 것을 알수 있습니다.

다시 말하면,

평행한 두 직선 l과 m에서 직선m위의 두점 B,C와 직선l위의 한점으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.

여기에서 더 생각해 보면

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.

좌표 평면 위의 원점(0 , 0)에서 직선

3x-y+2-k(x+y)=0 까지의 거리의 최댓값은? (단, k는 실수이다.)

2007년 교육청 출제 문제입니다.

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우선 정석 풀이 부터 보겠습니다.

원점과 직선사이의 거리는

이 거리가 최댓값이 되려면, 분모가 최소가 되어야 하겠죠?

그러므로 원점에서 직선까지의 최댓값은

가 됩니다.

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그런데 좀 다르게 생각해 보겠습니다.

임의의 삼각형 ABC 에서 변BC 의 중점을 M이라 할 때, 다음이 성립합니다.

위 그림과 같이 변 BC가 x 축 위에 있고, 변 BC 의 중점 M 을 원점O 로 하는 좌표평면을 생각해 봅시다. 그러면

라 할 수 있습니다.

이때,