<하양짱샘수학과외>프톨레마이오스 정리

원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다. 톨레미 정리라고도 한다.

$\overline {AC}\times \overline {BC}=\overline {AB}\times \overline {CD}+\overline {BC}\times \overline {AD}$AC×BC=AB×CD+BC×AD​

∠CAD=∠BAE가 되도록 선분BD 위에 점 E를 잡습니다. ∠ABD와 ∠ACD는 원주각으로 서로 같습니다.

∴ △ADE 와 △ACB가 서로 닮음.

$\therefore \ \overline {AD}:\overline {DE}=\overline {AC}:\overline {BC}$∴ AD:DE=AC:BC​

$\therefore \ \overline {AD}\times \overline {BC}=\overline {DE}\times \overline {AC}\ \ ...\ \left(1\right)\ $∴ AD×BC=DE×AC  ... (1) ​

또, △ABE 와 △ACD도 서로 닮음.

$\therefore \ \overline {AB}:\overline {BE}=\overline {AC}:\overline {CD}$∴ AB:BE=AC:CD​

$\therefore \ \overline {AB}\times \overline {CD}=\overline {BE}\times \overline {AC}\ \ ...\ \left(2\right)\ $∴ AB×CD=BE×AC  ... (2) ​

(1)+(2)

$\therefore \ \overline {AC}\times \left(\overline {BE}+\overline {DE}\right)=\overline {AB}\times \overline {CD}\ +\overline {AD}\times \overline {BC}\ $∴ AC×(BE+DE)=AB×CD +AD×BC ​

$\overline {BE}+\overline {DE}=\overline {BD}이므로$BE+DE=BD이므로​

$\ \ \ \ \ \overline {AC}\times \overline {BD}=\overline {AB}\times \overline {CD}\ +\overline {AD}\times \overline {BC}$     AC×BD=AB×CD +AD×BC​

가 성립합니다.