하양짱샘수학이야기

삼차함수 그래프의 핵심인 대칭성과 4등분 법칙을 통해 수능 수학 고득점을 노려보세요.

변곡점을 활용한 비율 관계를 익히면 복잡한 계산 없이도 4점 문항을 빠르게 해결할 수 있습니다.

하양짱샘수학이 제안하는 실전 문제 풀이 전략을 지금 바로 확인하고 수학 1등급을 향한 시간 단축 비결을 마스터하세요!

1. 근과 계수의 관계를 이용한 증명

최고차항의 계수가 a (a ≠0)이고, 세 실근이 α, β, γ인 일반적인 삼차방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

따라서 x2의 계수가 0이면 세 실근의 합은 언제나 0입니다.

​

2. 접선의 방정식 문제에서 유용하게 쓰이는 이유

삼차함수의 모든 그래프는 점대칭인가요?

그렇다면 이 변곡점이 정말로 그래프의 대칭 중심인지 어떻게 확신할 수 있을까요?

이를 증명하기 위해 변곡점을 좌표평면의 원점으로 옮기는 평행이동을 활용해 보겠습니다.

앞서 구한 변곡점의 x좌표를 t라고 할 때, 그래프를 x축 방향으로 -t만큼,

y축 방향으로 -f(t)만큼 평행이동한 새로운 함수 g(x)를 만듭니다.

​

이 식을 전개하여 정리하면 놀라운 결과가 나타납니다.

1. 평행이동한 식 g(x) = a(x+t)3 + b(x+t)2 + c(x+t) + d - f(t)를 전개합니다.
2. 계수를 정리하면 x2 항의 계수는 3at + b가 되는데, t = -b/3a를 대입하면 이 값은 0이 됩니다.
3. 상수항 역시 f(t) - f(t) 형태가 되어 0으로 사라집니다.
4. 결국 남는 식은 g(x) = ax3 + px (단, p는 일차항의 계수) 꼴의 단순한 형태가 됩니다.

​

이렇게 정리된 g(x)에 x 대신 -x를 대입하면 g(-x) = a(-x)3 + p(-x) = -(ax3 + px) = -g(x)가 성립합니다.

이는 g(x)가 원점을 중심으로 대칭인 '기함수'임을 증명하는 것입니다.

원래의 삼차함수 f(x)는 이 기함수를 다시 평행이동한 것에 불과하므로,

결과적으로 모든 삼차함수의 그래프는 자신의 변곡점에 대해 완벽한 점대칭을 이룹니다.

​

이러한 대칭성은 단순히 이론적인 성질에 그치지 않고,

복잡한 접선 문제나 넓이 문제를 해결할 때 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 강력한 도구가 됩니다.

하양짱샘수학에서는 이러한 대칭 구조를 시각적으로 이해하여

고난도 문제에 직관적으로 대응하는 훈련을 강조합니다.

8개의 평행사변형으로 나누는 ‘4등분 법칙’이란?

삼차함수 그래프는 단순히 구불구불한 곡선이 아니라,

그 안에 매우 정교하고 완벽한 대칭 구조를 숨기고 있습니다.

이 구조를 가장 명확하게 보여주는 것이 바로 '4등분 법칙'입니다.

​

이 법칙은 삼차함수의 변곡점을 중심으로 그래프를 8개의 합동인 평행사변형 안에

가둘 수 있다는 원리에서 시작됩니다.

삼차함수 그래프에서 극댓값과 극솟값을 갖는 지점, 그리고 그 한가운데 위치한 변곡점을 기준으로

가로선과 세로선을 그어보면 총 8개의 영역이 만들어집니다.

놀랍게도 이 8개의 영역을 감싸는 평행사변형들은 모두 합동이며,

각 핵심 지점의 x좌표는 일정한 간격을 유지합니다.

구체적으로 극대점, 변곡점, 극소점, 그리고 극대/극소에서 그은 접선이 곡선과

다시 만나는 교점 사이의 거리는 모두 1:1:1:1의 비율을 이룹니다.

Pro Tip: 복잡한 계산 없이 접점의 x좌표와 변곡점의 위치만 알아도
나머지 교점의 좌표를 즉시 찾아낼 수 있습니다.
수능이나 모의고사에서 시간을 단축하는 핵심 비결입니다.

이 비율 관계가 성립하는 지점들을 정리하면 다음과 같습니다.

• 극대점과 극소점: 두 점의 x좌표 차이를 2등분하는 지점에 항상 변곡점이 존재합니다.
• 접점과 교점: 한 극값에서 접선을 그었을 때, 접점과 변곡점, 그리고 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 x좌표 간격은 모두 동일합니다.
• 평행사변형 박스: 그래프를 이 8개의 칸 안에 그려 넣으면 삼차함수 특유의 점대칭 형태가 완벽하게 드러납니다.

​

이러한 4등분 법칙은 단순한 우연이 아니라

삼차방정식의 근과 계수의 관계를 통해 논리적으로 증명됩니다.

​

삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d와 어떤 접선 y = mx + n이 만나는 상황을 가정해 보겠습니다.

두 식을 연립하여 만든 방정식 ax3+bx2 + (c-m)x + (d-n) = 0의 세 근을 각각 α, β, γ라고 합시다.

이때 삼차방정식의 성질에 따라 세 근의 합α+ β+ γ은 항상 -b/a로 일정합니다.

만약 x = α에서 접한다면 α는 중근이 되므로 세 근은 α, α, γ가 됩니다.

여기서 변곡점의 x좌표는 항상 세 근의 평균인 α+ β+ γ/3 지점에 위치하게 됩니다.

중요 노트: 변곡점은 이계도함수가 0이 되는 지점이며, 삼차함수에서 모든 대칭의 중심 역할을 합니다.
4등분 법칙을 적용할 때 가장 먼저 찾아야 할 기준점입니다.

결국 근과 계수의 관계를 통해 도출된 결과는 다음과 같은 수학적 필연성을 보여줍니다.

1. 접점의 x좌표를 α, 나머지 한 교점을 γ라고 할 때, 변곡점은 이들을 2:1로 내분하는 지점에 위치합니다.
2. 변곡점을 기준으로 접점의 반대편에 있는 극값의 x좌표는 접점과 변곡점 사이의 거리를 그대로 유지합니다.
3. 결과적으로 모든 구간의 x좌표 간격이 동일해지며, 우리가 알고 있는 1:1:1:1의 비율이 완성됩니다.

​

이 법칙을 숙달하면 고난도 미분 문제에서 함수식을 일일이 세우지 않고도

그래프의 개형만으로 정답을 유추할 수 있습니다.

하양짱샘수학에서는 이러한 기하학적 직관력을 길러 수학적 사고의 깊이를 더하는 훈련을 강조합니다.

원리를 이해하고 나면 삼차함수는 더 이상 복잡한 수식이 아닌,

조화로운 비율을 가진 아름다운 도형으로 다가올 것입니다.

실전 수능·모의고사 문제에 어떻게 적용할까요?

삼차함수의 대칭성과 4등분 법칙을 머릿속에 넣었다면,

이제 실제 시험지 위에서 이 강력한 무기를 어떻게 휘두를지 고민해야 할 차례입니다.

수능과 모의평가 기출 문제는 이 원리를 적용했을 때 계산 과정이 획기적으로 줄어드는 완벽한 연습장입니다. 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 문제의 구조를 파악하고 대칭성을 즉각적으로 투영하는 실전 감각을 익혀보겠습니다.

​

예제로 본 접점과 교점의 좌표 구하기

예제1)

이 함수는 x2 항이 없으므로 이계도함수를 구했을 때 변곡점의 x좌표가 0이라는 사실을 바로 알 수 있습니다. 변곡점의 좌표는 (0, 7)입니다.

x축 위의 세 점 A(-1, 0), O(0, 0), B(a, 0) (a>0)이라 하면,

먼저 4등분 법칙을 적용해 보겠습니다.삼차함수 그래프의 4등분 법칙을 적용해 보겠습니다.

풀이1-2) 근과계수와의 관계를 이용한 풀이

점 P{-1, 4)에서의 접선의 방정식을 y=mx+n이라 하면,

풀이2) 이 함수는 x2 항이 없으므로 이계도함수를 구했을 때 변곡점의 x좌표가 0이라는 사실을 바로 알 수 있습니다. 점B의 x좌표를 a라 하면, 4등분 법칙이나 근과 계수와의 관계를 이용하여 간단하게 a=-2가 됨을 알 수 있습니다. 그러므로 점B(-2, 2)임을 알 수 있습니다.

풀이3) 함수 f(x)=x(x+1)(x-4)와 직선 y=5x+k가 서로 다른 두 점에서 만난다는 조건은, 결국 이 직선이 삼차함수의 접선이 되어야 함을 의미합니다. 이때 양수 k를 구하기 위해 무작정 연립방정식을 풀기보다 접점의 위치를 먼저 파악하는 것이 효율적입니다. 우선 f'(t)=5가 되는 접점의 x좌표를 찾으면 t=3 또는 t=-1이 나옵니다. 여기서 대칭성을 알고 있다면 두 접점 중 어느 쪽이 양수 k를 만들어낼지 그래프 상에서 직관적으로 예측할 수 있습니다.

예를 들어 t=-1이 접점일 때 근과 계수의 관계를 적용하면 세 근의 합이 3이므로 (-1) + (-1) + α = 3에서 다른 한 근 α=5를 얻습니다. 이때 세 근의 곱을 통해 k=5라는 결과를 얻게 됩니다.

실전에서 대칭성을 자유자재로 구사한다는 것은 단순히 빨리 푸는 것을 넘어,

문제를 바라보는 시야를 확장하는 일입니다.

하양짱샘수학에서 강조하듯, 기하학적 성질을 대수적 풀이와 결합했을 때

비로소 수학적 사고의 완성도가 높아집니다.

이제 복잡한 삼차함수 그래프를 만났을 때, 숨겨진 8개의 평행사변형 격자를 그려보는 연습을 시작해 보시기 바랍니다.

삼각형 하나를 그려두면, 그 안팎으로 숨어 있는 원이 여러 개 있다는 사실을 아시나요?

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원, 세 변에 모두 닿는 원, 그리고 삼각형 밖에서 변의 연장선에 닿는 원까지

— 이 원들의 중심을 각각 외심, 내심, 방심이라고 부릅니다.

오늘은 짱샘수학에서 이 세 가지 중심을 하나의 예제로 통일해서,

정의부터 실제 계산까지 한 번에 정리해드리겠습니다.

세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형 하나로 모든 개념을 확인해볼게요.

외심 — 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 중심

정의: 삼각형의 세 변에 대한 수직이등분선을 그으면, 이 세 직선은 반드시 한 점에서 만납니다.

이 점을 외심이라고 합니다.

핵심 성질: 외심은 세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있습니다.

이 거리가 곧 외접원의 반지름 R

입니다.

이 성질이 성립하는 이유는 간단합니다.

수직이등분선 위의 임의의 점은 그 선분의 두 끝점으로부터 항상 같은 거리에 있기 때문입니다.

세 변 각각의 수직이등분선이 만나는 한 점은, 자연히 세 꼭짓점 모두로부터 같은 거리를 갖게 되는 것이죠.

외심의 위치는 삼각형 모양에 따라 달라집니다.
예각삼각형: 삼각형 내부
직각삼각형: 빗변의 중점
둔각삼각형: 삼각형 외부

예제로 확인: 세 변이 3, 4, 5인 직각삼각형(빗변 5)을 생각해봅시다. 직각삼각형이므로 외심은 빗변의 중점에 위치하고, 외접원의 반지름은 빗변의 절반입니다.

각의 이등분선 위의 점은 그 각을 이루는 두 변으로부터 항상 같은 거리에 있다는 성질에서 유도됩니다.

내접원의 반지름은

예제로 확인: 3-4-5 직각삼각형의 넓이는

방심 — 삼각형 밖에서 변에 닿는 원의 중심

정의: 방심은 조금 낯설게 느껴질 수 있는 개념입니다.

한 내각의 이등분선과, 나머지 두 내각의 외각 이등분선이 만나는 점을 방심이라고 합니다.

삼각형 하나에는 방심이 세 개 존재합니다 (각 변마다 하나씩).

핵심 성질: 방심을 중심으로 하는 원(방접원)은 삼각형의 한 변에는 직접 닿고, 나머지 두 변의 연장선에 닿습니다.

그래서 방심은 항상 삼각형의 외부에 위치합니다.

내접원의 반지름이 r=S/s 였다면, 변 b와 마주보는 꼭짓점 쪽 방접원의 반지름 rb는 다음과 같이 구합니다.

내접원 공식에서 분모의 s가 s−a로 바뀐 형태라는 것만 기억하면 됩니다.

예제로 확인: 3-4-5 직각삼각형에서 각 변에 대응하는 방접원의 반지름을 모두 구해보겠습니다. (S=6, s=6)

안녕하세요, 학생들의 수학적 구조와 직관력을 세워주는 짱샘수학입니다.

중학교 1학년 일차방정식 활용 단원에 들어서면 많은 학생들이 첫 번째 큰 고비를 맞이합니다.

바로 '소금물의 농도' 문제입니다.

"공식은 다 외웠는데 문제를 읽으면 식을 못 세우겠어요."

"물을 더 넣거나 증발시키면 너무 헷갈려요."

학생들이 소금물 문제를 어려워하는 이유는 공식을 몰라서가 아닙니다.

긴 문장을 읽으면서 머릿속으로만 식을 세우려 하기 때문입니다.

​

오늘은 짱샘수학에서 어려워하는 소금물 문장제 문제를 만나도 당황하지 않고

10초 만에 명쾌하게 식을 세우는 '표 그리기' 기술에 대해 이야기 해 볼까 합니다.

즉, 농도 공식

을 외우는 것보다 더 중요한 것은,

[처음 소금의 양] + [더 넣은 소금의 양] = [섞은 후 소금의 양]

이라는 '소금의 양 보존 법칙'을 이해하는 것입니다.

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실전 문제에 '표 그리기' 적용하기

다음 대표적인 문제를 함께 보겠습니다.

[대표 문제]

8%의 소금물 300g이 있다. 여기에 물을 더 넣어서 5%의 소금물을 만들려고 할 때,

더 넣어야 하는 물의 양은 몇 g인지 구하시오.

[풀이]

1단계: 3가지 요소(농도 / 소금물 / 소금)를 정리하는 표 만들기

문제에서 구하고자 하는 '더 넣어야 하는 물의 양'을 xg이라 두고, 아래처럼 3행의 표를 만듭니다.

 

2단계: '소금의 양' 줄에서 바로 방정식 세우기

표의 맨 마지막 줄인 [소금의 양]만 그대로 이어 써주면 방정식이 완성됩니다!

(처음 소금)} + (더 넣은 물 속 소금) =(최종 소금)

3단계: 간단하게 계산하기

양변에 100을 곱해 분수를 없애줍니다.

왜 이 방법이 효과적일까요?

1. 시각화: 글자로 가득한 문제를 도식화(표)하여 문제의 조건이 한눈에 들어옵니다.
2. 실수 방지: '맹물'은 농도가 0%, '생소금'은 농도가 100%라는 것을 표 칸을 채우며 자연스럽게 인지하므로 실수가 사라집니다.
3. 고등 연계: 이 표 그리기 방식은 중2 연립방정식 활용, 중3 이차방정식 활용, 나아가 고등 수학의 미지수 설정까지 그대로 확장됩니다.

마치며

수학을 잘하는 학생들의 특징은 무작정 공식을 암기해서 문제를 푸는 것이 아니라,

복잡한 상황을 단순하고 명쾌하게 구조화하는 능력을 가지고 있다는 점입니다.

소금물 문제뿐만 아니라 거속시(거리·속력·시간), 일의 양, 정가와 할인가 문제도 모두 이런 '구조화 틀'을 갖추면 유연하게 풀어낼 수 있습니다.

짱샘수학에서는 아이들에게 단순 문제 풀이 양치기를 시키지 않습니다.

"왜 이런 식이 나오는지" 원리를 직관적으로 이해하고 스스로 식을 세울 수 있는 수학적 힘을 길러줍니다.

우리 아이가 문장제 활용 문제에서 자꾸 막힌다면, 개념을 바라보는 시각을 바꿔줄 때입니다.

언제든 짱샘수학의 문을 두드려주세요.

안녕하세요.

하양에서 아이들의 수학적 구조와 실전 직관을 길러주는 짱샘수학입니다.

여름방학이 끝나고 2학기 개학을 맞이한 지도 어느덧 9월 첫 주가 되었습니다.

이맘때가 되면 많은 학부모님들께서 공통적으로 하시는 고민이 있습니다.

지난 글들에서 거리곱, 조립제법처럼 계산을 빠르게 만드는 스킬들을 정리해드렸습니다.

오늘은 조금 다른 결의 이야기를 해보려고 합니다.

아예 적분을 하지 않고, 좌표 설정과 닮음(닮음삼각형)만으로 넓이를 구하는 기하학적 방법입니다.

​

이차함수와 접선, 그리고 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제, 다들 한 번쯤 만나보셨을 겁니다.

보통은 교점을 구하고 정적분을 세워서 계산하는데,

사실 이 유형은 포물선이 가진 대칭성과 접선이 만드는 닮음 관계를 이용하면

적분 없이 삼각형 넓이 계산만으로 끝낼 수 있습니다.

짱샘수학에서 그 원리를 차근차근 정리해드리겠습니다.

핵심 성질 ① : 접선은 정확히 "반으로" 나눕니다

가장 간단한 형태인

(꼭짓점이 원점인 포물선)에서 출발하겠습니다.

포물선 위의 점 P(t, 2t2)에서의 접선을 구해보면 다음과 같습니다.

이 결과가 바로 오늘 이야기의 출발점입니다.

접점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 T(t, 0)이라고 하면,

접선이 x축과 만나는 점 Q는 정확히 원점 O와 T의 중점이 됩니다.

포물선의 접선이 축을 정확히 이등분한다는 이 성질을 서브탄젠트(subtangent) 성질이라고 부릅니다. 이 성질 하나만 기억해두면, 접선의 방정식을 매번 새로 유도하지 않고도 접선이 축과 만나는 위치를 즉시 알 수 있습니다.

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핵심 성질 ② : 둘러싸인 넓이는 삼각형의 정확히 1/3

이제 포물선 y=ax2 위의 원점에서 점 P까지의 곡선, 점 P에서 점 Q까지의 접선, 점 Q에서 원점까지의 x축,

이 세 구간으로 둘러싸인 도형을 생각해보겠습니다.

이 영역의 넓이를 직접 적분하면

이 나옵니다.

그런데 세 점 O(0,0), Q(t/2, 0), P(t, at2)를 곧게 이은 직선 삼각형의 넓이를 구해보면:

즉, 곡선으로 둘러싸인 실제 영역의 넓이는, 세 점을 곧게 이은 삼각형 넓이의 정확히 1/3입니다.

한 번 증명해두면, 이후로는 삼각형 넓이만 구해서 3으로 나누면 끝나는 것이죠.

왜 이런 일이 일어날까요?

포물선과 직선(현) 사이의 넓이가 내접삼각형 넓이의 4/3배가 된다는 아르키메데스의 포물선 구적법과 같은 뿌리를 가진 성질입니다. 접선이 만드는 경우는 조건이 조금 달라 비율이 1/3로 바뀌지만, "곡선과 직선이 만드는 넓이는 특정 삼각형(또는 사각형)의 일정한 비율"이라는 큰 흐름은 동일합니다.

대칭성을 이용해 일반적인 포물선에도 적용하기

지금까지는 꼭짓점이 원점에 있는 가장 단순한 포물선으로 설명했습니다.

실제 문제에서는 포물선이 어디에 있든 상관없습니다.

넓이의 비율은 이동(평행이동)에 영향을 받지 않기 때문입니다.

​

즉, 어떤 이차함수가 주어지더라도 다음 순서로 접근하면 됩니다.

1. 포물선의 꼭짓점을 원점으로 오도록 좌표를 다시 설정합니다 (평행이동).
2. 접점과 꼭짓점, 접선의 축 교점(서브탄젠트 성질로 즉시 위치 파악)으로 직선 삼각형을 만듭니다.
3. 그 삼각형의 넓이를 구합니다.
4. 1/3을 곱합니다.

이 네 단계면 적분 과정 없이 넓이가 나옵니다.

좌표를 옮기는 것 자체가 바로 포물선의 대칭성을 활용하는 과정입니다.

실전 예제로 확인하기

문제:

풀이:

1단계. 서브탄젠트 성질로 Q의 위치 파악

꼭짓점이 원점이므로 T = (2, 0)이고, 접선이 x축과 만나는 점 Q는 원점과 T의 중점입니다.

Q = (1, 0)

2단계. 삼각형 OQP의 넓이 계산

3단계. 1/3을 곱해 실제 넓이 구하기

적분으로 직접 계산해도 같은 답이 나오지만,

교점을 구하고 두 구간으로 나눠 적분하는 과정 없이 삼각형 넓이 계산 한 번으로 끝났습니다.

마치며

오늘 정리한 방법은 결국 "포물선의 대칭성을 좌표 설정으로 활용하고, 접선이 만드는 닮음 관계를 이용해 계산을 단순화한다"는 하나의 큰 아이디어로 요약됩니다.

적분이라는 강력한 도구를 쓰지 않고도 기하학적 구조만으로 답을 찾아내는 이런 접근은, 단순히 시간을 아끼는 것을 넘어 함수와 도형이 어떻게 연결되어 있는지를 보는 감각을 길러줍니다.

짱샘수학에서는 이런 기하학적 접근법을 다룰 때도 결과 공식을 외우게 하기보다,

학생이 직접 좌표를 설정하고 증명하는 과정을 함께 짚어드리고 있습니다.

우리 아이가 이런 심화 내용을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.

정적분과 어떻게 연결될까?

정적분의 기본 원리를 떠올려볼게요.

실전 예제로 확인하기

문제:

1단계. 부정적분 구하기

2단계. 조립제법으로 F(2) 구하기

F(x)의 계수를 순서대로 나열하면

3단계. F(0) 구하기

x=0으로 조립제법을 하면 값을 전부 곱해도 0이 되므로,

F(0)은 상수항인 0과 같습니다.

(사실 상수항이 있는 경우엔 이 과정도 조립제법으로 처리하면 됩니다.)입

이 계수들을 x=2로 조립제법을 진행합니다.

​

4단계. 정적분 값 계산

[예제] 조립제법이 수능 적분을 만났을 때

고1 때 배우는 간단한 조립제법이 고3 수능 시험장에서 어떻게 강력한 무기가 되는지

실제 예제로 보겠습니다.

[문제]

① 분수·소수 연산,

"할 줄 안다"가 아니라 "빠르고 정확하게"

초등학교에서 분수와 소수 연산은 이미 배운 내용이라 학부모님들이 안심하기 쉬운 부분입니다.

하지만 중학교 수학은 이 연산이 "기본 도구"로 계속 쓰인다는 게 문제입니다.

​

중1 "문자와 식" 단원에서는

같은 식을 계산해야 하는데, 이때 분수 계산 자체가 느리거나 실수가 잦으면

정작 배우는 새로운 개념(문자와 식)에 집중할 여력이 없어집니다.

새로운 개념을 배우는데 에너지를 써야 할 순간에, 옛날에 배운 연산 때문에 발목을 잡히는 거예요.

​

지난 글에서 "거리곱"의 세 가지 기본 원리

① 함숫값 거리곱

② 미분계수 거리곱

③ 도함수 거리곱

을 정리해봤는데요.

개념만 알고 넘어가면 실제 문제에서는 어떻게 써야 할지 감이 잘 안 잡히실 거예요.

오늘은 짱샘수학에서 실제 수능 유형에 가까운 문제로 직접 적용하는 연습을 해보겠습니다.

지난 글을 못 보셨다면 먼저 읽고 오시는 걸 추천해요.

오늘 예제는 그 개념을 안다는 전제로 풀이가 진행됩니다.

예제 1. 함숫값 거리곱 — 미지수 구하기

문제:

풀이:

함숫값 거리곱 공식에 그대로 대입합니다.

x=0에서 각 근까지의 거리를 곱하면,

풀이:

근 x=2에서의 미분계수를 구하는 것이므로, 미분계수 거리곱 공식을 사용합니다.

x=2가 아닌 다른 두 근 -1, 5까지의 거리만 곱하면 됩니다.

답: -18

만약 이 문제를 도함수를 직접 구해서 풀었다면,

f(x)를 전개하고 미분한 뒤 x=2를 대입하는 훨씬 긴 과정을 거쳐야 했을 거예요.

 

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예제 3. 도함수 거리곱 — 극값 조건에서 계수 구하기

문제:

​

풀이

f가 x=-1, x=3에서 극값을 가진다는 것은,

f'(x)=0의 두 해가 -1, 3이라는 뜻입니다.

f의 최고차항 계수가 a이므로, f'(x)의 최고차항 계수는 3a가 됩니다.

여기에 x=0을 대입하면:

답: a=2

이 문제는 f(x)의 실제 식을 전혀 몰라도,

극값의 위치와 미분계수 조건 하나만으로 최고차항의 계수까지 알아낸 경우입니다.

도함수 거리곱이 가장 위력을 발휘하는 유형이에요.

예제 4. 종합문제 — 함숫값 거리곱 + 미분계수 거리곱

문제:

풀이

1단계 — 함숫값 거리곱으로 a 구하기

2단계 — 미분계수 거리곱으로 f'(-1) 구하기

근 x=-1에서 다른 두 근 2, 4까지의 거리를 곱합니다.

답: a=2, f'(-1)=30

이렇게 한 문제 안에서 두 가지 거리곱을 순서대로 쓰는 경우가

실제 시험에서 가장 흔한 출제 패턴입니다.

먼저 미지수를 확정하고, 그 다음 원하는 값을 구하는 2단계 구조를 기억해두세요.

마무리하며

오늘 다룬 네 문제는 실제 수능이나 내신 서술형에서 자주 보이는 구조입니다.

공통점을 하나 짚어드리면,

"함수식을 전개하지 않고, 인수분해된 형태 그대로 근과 거리 정보만 활용한다"는 점이에요.

이 감각이 익숙해지면 계산 시간이 눈에 띄게 줄어듭니다.

다만 지난 글에서도 말씀드렸듯, 이 스킬은 원리를 이해한 다음에 익혀야 진짜 실력이 됩니다.

짱샘수학에서는 이런 실전 스킬을 다룰 때도 "왜 이 공식이 나왔는지" 증명부터 짚고,

그 다음 이런 실전 문제로 적용력을 확인하는 순서로 수업을 진행하고 있습니다.