하양짱샘수학이야기

안녕하세요, 학생들의 수학적 구조와 직관력을 세워주는 짱샘수학입니다.

중학교 1학년 일차방정식 활용 단원에 들어서면 많은 학생들이 첫 번째 큰 고비를 맞이합니다.

바로 '소금물의 농도' 문제입니다.

"공식은 다 외웠는데 문제를 읽으면 식을 못 세우겠어요."

"물을 더 넣거나 증발시키면 너무 헷갈려요."

학생들이 소금물 문제를 어려워하는 이유는 공식을 몰라서가 아닙니다.

긴 문장을 읽으면서 머릿속으로만 식을 세우려 하기 때문입니다.

​

오늘은 짱샘수학에서 어려워하는 소금물 문장제 문제를 만나도 당황하지 않고

10초 만에 명쾌하게 식을 세우는 '표 그리기' 기술에 대해 이야기 해 볼까 합니다.

즉, 농도 공식

을 외우는 것보다 더 중요한 것은,

[처음 소금의 양] + [더 넣은 소금의 양] = [섞은 후 소금의 양]

이라는 '소금의 양 보존 법칙'을 이해하는 것입니다.

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실전 문제에 '표 그리기' 적용하기

다음 대표적인 문제를 함께 보겠습니다.

[대표 문제]

8%의 소금물 300g이 있다. 여기에 물을 더 넣어서 5%의 소금물을 만들려고 할 때,

더 넣어야 하는 물의 양은 몇 g인지 구하시오.

[풀이]

1단계: 3가지 요소(농도 / 소금물 / 소금)를 정리하는 표 만들기

문제에서 구하고자 하는 '더 넣어야 하는 물의 양'을 xg이라 두고, 아래처럼 3행의 표를 만듭니다.

 

2단계: '소금의 양' 줄에서 바로 방정식 세우기

표의 맨 마지막 줄인 [소금의 양]만 그대로 이어 써주면 방정식이 완성됩니다!

(처음 소금)} + (더 넣은 물 속 소금) =(최종 소금)

3단계: 간단하게 계산하기

양변에 100을 곱해 분수를 없애줍니다.

왜 이 방법이 효과적일까요?

1. 시각화: 글자로 가득한 문제를 도식화(표)하여 문제의 조건이 한눈에 들어옵니다.
2. 실수 방지: '맹물'은 농도가 0%, '생소금'은 농도가 100%라는 것을 표 칸을 채우며 자연스럽게 인지하므로 실수가 사라집니다.
3. 고등 연계: 이 표 그리기 방식은 중2 연립방정식 활용, 중3 이차방정식 활용, 나아가 고등 수학의 미지수 설정까지 그대로 확장됩니다.

마치며

수학을 잘하는 학생들의 특징은 무작정 공식을 암기해서 문제를 푸는 것이 아니라,

복잡한 상황을 단순하고 명쾌하게 구조화하는 능력을 가지고 있다는 점입니다.

소금물 문제뿐만 아니라 거속시(거리·속력·시간), 일의 양, 정가와 할인가 문제도 모두 이런 '구조화 틀'을 갖추면 유연하게 풀어낼 수 있습니다.

짱샘수학에서는 아이들에게 단순 문제 풀이 양치기를 시키지 않습니다.

"왜 이런 식이 나오는지" 원리를 직관적으로 이해하고 스스로 식을 세울 수 있는 수학적 힘을 길러줍니다.

우리 아이가 문장제 활용 문제에서 자꾸 막힌다면, 개념을 바라보는 시각을 바꿔줄 때입니다.

언제든 짱샘수학의 문을 두드려주세요.

안녕하세요.

하양에서 아이들의 수학적 구조와 실전 직관을 길러주는 짱샘수학입니다.

여름방학이 끝나고 2학기 개학을 맞이한 지도 어느덧 9월 첫 주가 되었습니다.

이맘때가 되면 많은 학부모님들께서 공통적으로 하시는 고민이 있습니다.

지난 글들에서 거리곱, 조립제법처럼 계산을 빠르게 만드는 스킬들을 정리해드렸습니다.

오늘은 조금 다른 결의 이야기를 해보려고 합니다.

아예 적분을 하지 않고, 좌표 설정과 닮음(닮음삼각형)만으로 넓이를 구하는 기하학적 방법입니다.

​

이차함수와 접선, 그리고 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제, 다들 한 번쯤 만나보셨을 겁니다.

보통은 교점을 구하고 정적분을 세워서 계산하는데,

사실 이 유형은 포물선이 가진 대칭성과 접선이 만드는 닮음 관계를 이용하면

적분 없이 삼각형 넓이 계산만으로 끝낼 수 있습니다.

짱샘수학에서 그 원리를 차근차근 정리해드리겠습니다.

핵심 성질 ① : 접선은 정확히 "반으로" 나눕니다

가장 간단한 형태인

(꼭짓점이 원점인 포물선)에서 출발하겠습니다.

포물선 위의 점 P(t, 2t2)에서의 접선을 구해보면 다음과 같습니다.

이 결과가 바로 오늘 이야기의 출발점입니다.

접점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 T(t, 0)이라고 하면,

접선이 x축과 만나는 점 Q는 정확히 원점 O와 T의 중점이 됩니다.

포물선의 접선이 축을 정확히 이등분한다는 이 성질을 서브탄젠트(subtangent) 성질이라고 부릅니다. 이 성질 하나만 기억해두면, 접선의 방정식을 매번 새로 유도하지 않고도 접선이 축과 만나는 위치를 즉시 알 수 있습니다.

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핵심 성질 ② : 둘러싸인 넓이는 삼각형의 정확히 1/3

이제 포물선 y=ax2 위의 원점에서 점 P까지의 곡선, 점 P에서 점 Q까지의 접선, 점 Q에서 원점까지의 x축,

이 세 구간으로 둘러싸인 도형을 생각해보겠습니다.

이 영역의 넓이를 직접 적분하면

이 나옵니다.

그런데 세 점 O(0,0), Q(t/2, 0), P(t, at2)를 곧게 이은 직선 삼각형의 넓이를 구해보면:

즉, 곡선으로 둘러싸인 실제 영역의 넓이는, 세 점을 곧게 이은 삼각형 넓이의 정확히 1/3입니다.

한 번 증명해두면, 이후로는 삼각형 넓이만 구해서 3으로 나누면 끝나는 것이죠.

왜 이런 일이 일어날까요?

포물선과 직선(현) 사이의 넓이가 내접삼각형 넓이의 4/3배가 된다는 아르키메데스의 포물선 구적법과 같은 뿌리를 가진 성질입니다. 접선이 만드는 경우는 조건이 조금 달라 비율이 1/3로 바뀌지만, "곡선과 직선이 만드는 넓이는 특정 삼각형(또는 사각형)의 일정한 비율"이라는 큰 흐름은 동일합니다.

대칭성을 이용해 일반적인 포물선에도 적용하기

지금까지는 꼭짓점이 원점에 있는 가장 단순한 포물선으로 설명했습니다.

실제 문제에서는 포물선이 어디에 있든 상관없습니다.

넓이의 비율은 이동(평행이동)에 영향을 받지 않기 때문입니다.

​

즉, 어떤 이차함수가 주어지더라도 다음 순서로 접근하면 됩니다.

1. 포물선의 꼭짓점을 원점으로 오도록 좌표를 다시 설정합니다 (평행이동).
2. 접점과 꼭짓점, 접선의 축 교점(서브탄젠트 성질로 즉시 위치 파악)으로 직선 삼각형을 만듭니다.
3. 그 삼각형의 넓이를 구합니다.
4. 1/3을 곱합니다.

이 네 단계면 적분 과정 없이 넓이가 나옵니다.

좌표를 옮기는 것 자체가 바로 포물선의 대칭성을 활용하는 과정입니다.

실전 예제로 확인하기

문제:

풀이:

1단계. 서브탄젠트 성질로 Q의 위치 파악

꼭짓점이 원점이므로 T = (2, 0)이고, 접선이 x축과 만나는 점 Q는 원점과 T의 중점입니다.

Q = (1, 0)

2단계. 삼각형 OQP의 넓이 계산

3단계. 1/3을 곱해 실제 넓이 구하기

적분으로 직접 계산해도 같은 답이 나오지만,

교점을 구하고 두 구간으로 나눠 적분하는 과정 없이 삼각형 넓이 계산 한 번으로 끝났습니다.

마치며

오늘 정리한 방법은 결국 "포물선의 대칭성을 좌표 설정으로 활용하고, 접선이 만드는 닮음 관계를 이용해 계산을 단순화한다"는 하나의 큰 아이디어로 요약됩니다.

적분이라는 강력한 도구를 쓰지 않고도 기하학적 구조만으로 답을 찾아내는 이런 접근은, 단순히 시간을 아끼는 것을 넘어 함수와 도형이 어떻게 연결되어 있는지를 보는 감각을 길러줍니다.

짱샘수학에서는 이런 기하학적 접근법을 다룰 때도 결과 공식을 외우게 하기보다,

학생이 직접 좌표를 설정하고 증명하는 과정을 함께 짚어드리고 있습니다.

우리 아이가 이런 심화 내용을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.

정적분과 어떻게 연결될까?

정적분의 기본 원리를 떠올려볼게요.

실전 예제로 확인하기

문제:

1단계. 부정적분 구하기

2단계. 조립제법으로 F(2) 구하기

F(x)의 계수를 순서대로 나열하면

3단계. F(0) 구하기

x=0으로 조립제법을 하면 값을 전부 곱해도 0이 되므로,

F(0)은 상수항인 0과 같습니다.

(사실 상수항이 있는 경우엔 이 과정도 조립제법으로 처리하면 됩니다.)입

이 계수들을 x=2로 조립제법을 진행합니다.

​

4단계. 정적분 값 계산

[예제] 조립제법이 수능 적분을 만났을 때

고1 때 배우는 간단한 조립제법이 고3 수능 시험장에서 어떻게 강력한 무기가 되는지

실제 예제로 보겠습니다.

[문제]

① 분수·소수 연산,

"할 줄 안다"가 아니라 "빠르고 정확하게"

초등학교에서 분수와 소수 연산은 이미 배운 내용이라 학부모님들이 안심하기 쉬운 부분입니다.

하지만 중학교 수학은 이 연산이 "기본 도구"로 계속 쓰인다는 게 문제입니다.

​

중1 "문자와 식" 단원에서는

같은 식을 계산해야 하는데, 이때 분수 계산 자체가 느리거나 실수가 잦으면

정작 배우는 새로운 개념(문자와 식)에 집중할 여력이 없어집니다.

새로운 개념을 배우는데 에너지를 써야 할 순간에, 옛날에 배운 연산 때문에 발목을 잡히는 거예요.

​

지난 글에서 "거리곱"의 세 가지 기본 원리

① 함숫값 거리곱

② 미분계수 거리곱

③ 도함수 거리곱

을 정리해봤는데요.

개념만 알고 넘어가면 실제 문제에서는 어떻게 써야 할지 감이 잘 안 잡히실 거예요.

오늘은 짱샘수학에서 실제 수능 유형에 가까운 문제로 직접 적용하는 연습을 해보겠습니다.

지난 글을 못 보셨다면 먼저 읽고 오시는 걸 추천해요.

오늘 예제는 그 개념을 안다는 전제로 풀이가 진행됩니다.

예제 1. 함숫값 거리곱 — 미지수 구하기

문제:

풀이:

함숫값 거리곱 공식에 그대로 대입합니다.

x=0에서 각 근까지의 거리를 곱하면,

풀이:

근 x=2에서의 미분계수를 구하는 것이므로, 미분계수 거리곱 공식을 사용합니다.

x=2가 아닌 다른 두 근 -1, 5까지의 거리만 곱하면 됩니다.

답: -18

만약 이 문제를 도함수를 직접 구해서 풀었다면,

f(x)를 전개하고 미분한 뒤 x=2를 대입하는 훨씬 긴 과정을 거쳐야 했을 거예요.

 

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예제 3. 도함수 거리곱 — 극값 조건에서 계수 구하기

문제:

​

풀이

f가 x=-1, x=3에서 극값을 가진다는 것은,

f'(x)=0의 두 해가 -1, 3이라는 뜻입니다.

f의 최고차항 계수가 a이므로, f'(x)의 최고차항 계수는 3a가 됩니다.

여기에 x=0을 대입하면:

답: a=2

이 문제는 f(x)의 실제 식을 전혀 몰라도,

극값의 위치와 미분계수 조건 하나만으로 최고차항의 계수까지 알아낸 경우입니다.

도함수 거리곱이 가장 위력을 발휘하는 유형이에요.

예제 4. 종합문제 — 함숫값 거리곱 + 미분계수 거리곱

문제:

풀이

1단계 — 함숫값 거리곱으로 a 구하기

2단계 — 미분계수 거리곱으로 f'(-1) 구하기

근 x=-1에서 다른 두 근 2, 4까지의 거리를 곱합니다.

답: a=2, f'(-1)=30

이렇게 한 문제 안에서 두 가지 거리곱을 순서대로 쓰는 경우가

실제 시험에서 가장 흔한 출제 패턴입니다.

먼저 미지수를 확정하고, 그 다음 원하는 값을 구하는 2단계 구조를 기억해두세요.

마무리하며

오늘 다룬 네 문제는 실제 수능이나 내신 서술형에서 자주 보이는 구조입니다.

공통점을 하나 짚어드리면,

"함수식을 전개하지 않고, 인수분해된 형태 그대로 근과 거리 정보만 활용한다"는 점이에요.

이 감각이 익숙해지면 계산 시간이 눈에 띄게 줄어듭니다.

다만 지난 글에서도 말씀드렸듯, 이 스킬은 원리를 이해한 다음에 익혀야 진짜 실력이 됩니다.

짱샘수학에서는 이런 실전 스킬을 다룰 때도 "왜 이 공식이 나왔는지" 증명부터 짚고,

그 다음 이런 실전 문제로 적용력을 확인하는 순서로 수업을 진행하고 있습니다.

혹시 인강에서 "거리곱"이라는 용어를 들어본 적 있으신가요?

정식 교과서 용어는 아니라서 생소하실 수 있어요.

최근 고등수학, 특히 수2와 미적분 상위권 학생들 사이에서 계산 시간을 단축시켜주는 테크닉으로 많이 회자되는 개념입니다.

오늘은 이 "거리곱"이 정확히 뭔지, 왜 학생들이 배우고 싶어 하는지, 그리고 어떻게 활용하면 되는지 짱샘수학에서 쉽게 풀어드릴게요.

거리곱이란 무엇인가?

한 문장으로 정의하면 이렇습니다.

① 함숫값 거리곱 (기본형)

최고차항의 계수가 a이고, 세 근 p, q, r을 갖는 삼차함수는 다음과 같이 인수분해된 형태로 쓸 수 있습니다.

​ 이때 임의의 점 x=k에서의 함숫값은 이 식에 그대로 대입하면 됩니다.

이게 바로 "거리곱"이라는 이름이 붙은 이유예요.

k에서 각 근까지의 거리(차이)를 전부 곱한 것이 함숫값이 되기 때문입니다.

​

예제:

을 만들고 x=0을 넣는 것보다, 인수분해된 식에 바로 대입하는 게 훨씬 빠르죠.

사실 이 자체는 새로운 내용이 아니라 인수분해된 식을 활용하는 자연스러운 방법인데,

뒤에 나올 ②, ③번의 기초가 됩니다.

즉, 근 p에서의 미분계수를 구할 때는 p가 아닌 다른 근들과의 거리만 곱하면 됩니다.

왜 이렇게 될까요? 곱의 미분법으로 f'(x)를 전개하면

여기에 x=p를 대입하면, (x-p)가 포함된 뒤의 두 항은 전부 0이 되고 첫 번째 항만 남습니다.

예제:

③ 도함수 거리곱

삼차함수 f(x)가 x=p, x=q에서 극값을 가진다면,

f'(x)는 p, q를 근으로 갖는 이차함수입니다.

그리고 f의 최고차항 계수가 a라면, f'(x)의 최고차항 계수는 3a가 됩니다.

이 식은 곧 f'이라는 함수 자체에 ①번 "함숫값 거리곱" 원리를 적용한 것과 같습니다.

즉, f의 실제 식을 몰라도 극값의 위치(p, q)와 최고차항 계수(a)만 알면 임의의 점에서 접선의 기울기를 바로 구할 수 있습니다.

예제:

주의하실 점

한 가지 짚어드리고 싶은 부분이 있습니다.

거리곱은 정식 교육과정에 나오는 개념이 아니라, 인수정리와 곱의 미분법이라는 기본 개념에서 파생된 계산 테크닉입니다.

그래서 순서가 중요합니다.

1. 먼저 인수분해, 미분의 정의, 곱의 미분법을 정확히 이해하고

2. 그 위에서 "왜 거리곱이 성립하는지" 증명 과정을 짚은 뒤

3. 마지막에 "시간 단축용 도구"로 활용하는 것

이 순서를 건너뛰고 공식처럼 결과만 외우면, 정작 근을 모르는 문제나 사차함수처럼 조건이 살짝 달라진 문제에서 오히려 실수가 늘어날 수 있습니다.

짱샘수학에서는 이런 스킬을 다룰 때도 결과만 알려드리지 않고, 학생이 "왜 이게 성립하는지" 스스로 설명할 수 있는 단계까지 짚어드리고 있습니다.

다음 글에서는 거리곱을 실제 수능 기출 문제에 적용해보는 예제를 몇 가지 더 다뤄보겠습니다.

관계식 f(x+y) 문제 10초컷

편미분 적용 3단계 공식

1. y에 대해 편미분: x는 숫자(상수) 취급하고, y만을 변수로 생각하여 양변을 미분합니다.

2. y = 0 대입: 미분한 식의 y 자리에 0을 대입합니다.

3. f'(x) 완성: f'(0)조건 등을 대입해 도함수 f'(x)를 구합니다.

대표 예제 및 풀이 비교

[문제]

미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x, y에 대하여 아래 식을 만족시키고

f'(0) = 2일 때, f'(1)의 값을 구하시오.

1. 편미분 스킬 풀이 (객관식·단답형 추천)

- 1단계 (식 전개 후 y로 편미분):

우변을 전개하면

입니다.

x를 상수(숫자)로 보고 y에 대해 미분합니다.

- 2단계 ( y=0 대입 ):

- 3단계 (f'(0)=2 대입 및 답 구하기):

2. 정석 풀이 (도함수 정의 이용 - 서술형 대비)

 2) 도함수의 정의 적용:

3) 관계식 대입:

검산용 및 객관식 전용, 서술형 평가에서는 편미분을 쓰면 감점되므로,

서술형은 '정석 정의 풀이'로 쓰고 객관식 해법 및 검산용 스킬로 쓰면 좋습니다.

합성함수 미분과의 연계: