하양짱샘수학이야기

"지금 배우는 이 단원이 나중에 어디로 이어지나요?"

짱샘수학에 상담 오시는 학부모님들이 정말 많이 물어보시는 질문입니다.

수학은 어느 한 단원만 뚝 떼어놓고 볼 수 없습니다.

초등학교 저학년 때 배운 개념이 실 한 가닥처럼 이어져서 결국 고3 미적분까지 연결되기 때문입니다.

​

오늘은 이 연결 고리, 즉 수학의 계통도를 큰 줄기 다섯 가지로 나누어 정리해드리겠습니다.

지금 학생들이 배우고 있는 단원이 전체 그림에서 어느 위치에 있는지,

그리고 앞으로 어디로 이어지는지 한눈에 확인하실 수 있습니다.

미분 단원에서 극한 문제를 풀다 보면 이런 식을 자주 만나게 됩니다.

핵심 공식

함수 f가 x=a에서 미분가능할 때, 다음이 성립합니다.

극한 안에 있는 두 계수 p, q의 차이만 구해서 f '(a)에 곱하면 끝입니다.

아무리 복잡해 보이는 식이라도, p와 q만 정확히 찾아내면 몇 초 안에 답이 나옵니다.

왜 이렇게 될까요? (증명)

f(a)를 더하고 빼서 식을 둘로 쪼개는 것이 핵심입니다.

첫 번째 항을 살펴보겠습니다.

같은 방식으로 두 번째 항은 q×f '(a)로 수렴합니다.

두 결과를 원래 식에 대입하면:

예제 1. 기본형

문제:

풀이

a=1, p=3, q=−1 이므로 공식에 바로 대입합니다.

예제 2. 분모가 h가 아닐 때

문제:

풀이

분모가 2h이므로, 먼저 1/2을 앞으로 빼내서 분모를 h로 맞춰줍니다.

예제 3. 겉보기에 다른 형태 (합성 형태)

문제:

풀이

이 문제는 h가 아니라 x→2 형태로 나와서 처음엔 공식이 바로 안 보일 수 있습니다.

x=2+h로 치환해보겠습니다.

x→2이면 h→0이고, 3x−4 = 3(2+h)−4 = 2+3h 가 됩니다.

예제 4. 거꾸로 활용하기 — 조건에서 미지수 구하기

문제 :

풀이

공식에 대입하면:

극한값이 주어지고 계수를 거꾸로 찾아야 하는 문제에서도, 공식 하나로 방정식을 세워 바로 풀 수 있습니다.

마치며

오늘 공식의 핵심은 결국 "미분계수의 정의를 정확히 이해하고 있는가"입니다.

먼저, 기본 넓이 공식부터 정리하겠습니다

두 포물선 y=ax², y=bx² (0<a<b)와 수평선 y=h로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽 부분)의 넓이는 다음과 같습니다.

이 공식은 두 포물선이 직선 y=h와 만나는 점의 x좌표를 각각 구하고, 두 부분의 넓이 차이를 적분해서 얻은 결과입니다. 오늘은 이 식을 매번 새로 적분하지 않고, 닮음과 비슷한 원리로 빠르게 재활용하는 두 가지 방법을 소개합니다.

경우 1. 전체 구성을 통째로 확대·축소하는 경우

지난 글에서 증명한 원리는 "도형 전체를 같은 비율(k)로 확대·축소하면 넓이는 k²배가 된다"는 것이었습니다.

이 원리는 경계가 포물선이든 직선이든 상관없이 성립합니다.

두 포물선과 직선을 모두 함께 k배 하면 됩니다.

변환 (x,y) → (kx,ky)를 적용하면,

y=ax²는 y=(a/k)x²로, y=bx²는 y=(b/k)x²로, 직선 y=h는 y=kh로 바뀝니다.

즉 새로운 a, b, h를 모두 정해진 규칙대로 함께 바꾼 경우에만 넓이가 k²배가 됩니다.

​

예제 1

포물선 y=x², y=4x² 와 직선 y=4로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽)의 넓이를 구해보겠습니다.

이제 이 전체 구성을 3배로 확대해보겠습니다.

새 포물선은 y=(1/3)x², y=(4/3)x², 새 직선은 y=12가 됩니다.

지난 글의 원리대로 넓이는 3²=9배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 9 = 24

직접 계산해서 검산해보면:

정확히 일치합니다.

경우 2. 포물선은 그대로 두고, 직선의 높이만 바뀌는 경우

실전에서 훨씬 자주 만나는 상황은 이쪽입니다. 두 포물선 y=ax², y=bx²는 고정되어 있고, 자르는 직선의 높이 h만 다른 값으로 바뀌는 경우입니다. 이때는 지난 글의 원리를 그대로 쓸 수 없습니다. 가로와 세로를 다른 비율로 늘리는 특수한 변환이 필요합니다.

변환 (x,y) → (λx, λ²x) 를 생각해보겠습니다. 포물선 y=ax² 위의 점 (x,y)를 이 변환으로 옮기면 (λx, λ²y)가 되는데, 이 점이 같은 포물선 y=ax² 위에 있는지 확인해보겠습니다.

새로운 y좌표: λ²y = λ²(ax²) 새로운 x좌표의 제곱에 a를 곱한 값: a(λx)² = aλ²x²

두 값이 정확히 같습니다.

즉 이 변환은 포물선 y=ax²를 자기 자신으로 옮깁니다.

포물선의 모양은 그대로 유지된 채, 직선 y=h만 y=λ²h로 옮겨지는 것입니다.

지난 글의 변환이 "도형 전체를 다른 도형으로 옮기는 닮음"이었다면,

이번 변환은 "포물선은 그대로 두고 자르는 위치만 바꾸는 변환"이라는 점에서 성격이 다릅니다.

이 변환에서 넓이가 어떻게 바뀌는지 살펴보면,

x방향으로 λ배, y방향으로 λ²배 늘어나므로 넓이는 두 비율을 곱한 λ³배가 됩니다.

​

예제 2

앞선 예제 1과 같은 포물선 y=x², y=4x² 에서, 직선을 y=4가 아니라 y=16으로 바꾸면 넓이는 어떻게 될까요?

h가 4에서 16으로 바뀌었으므로 λ²=16/4=4, 즉 λ=2입니다. 넓이는 λ³=8배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 8 = 64/3

직접 계산해서 검산해보면:

증명 — 원점을 중심으로 한 확대·축소 변환

원점을 중심으로 x좌표와 y좌표를 동시에 k배 하는 변환을 생각해보겠습니다.

변환 T : (x, y) → (kx, ky)

C₁ 위의 임의의 점 (x₀, y₀)을 이 변환으로 옮겨서, 그 결과가 C₂ 위에 있도록 만드는 k값을 찾아보겠습니다.

점 (x₀,y₀)은 C₁ 위에 있으므로 y₀ = a·x₀² 을 만족합니다. 변환 후의 점 (kx₀, ky₀)이 C₂: y=bx² 위에 있으려면 다음이 성립해야 합니다.

k·y₀ = b·(kx₀)²

우변을 정리하면 b·k²·x₀² 이고, 좌변은 k·a·x₀² (y₀=ax₀²를 대입) 이므로:

k·a·x₀² = b·k²·x₀²

양변에서 x₀²을 나누고 정리하면:

a = b·k

∴ k = a/b

즉, k=a/b로 정하면, C₁ 위의 모든 점이 이 변환을 통해 정확히 C₂ 위의 점으로 옮겨집니다.

x₀는 임의의 값이었으므로, 이 관계는 C₁ 위의 모든 점에서 성립합니다.

변환 T는 원점을 중심으로 x, y를 동일한 비율(k)로 늘리거나 줄이는 닮음변환입니다.

따라서 C₁과 C₂는 닮음이며, 닮음비는 |a/b| 입니다.

이번에는 그래프로 볼까요?

두 포물선

이 다음과 같이 점 A, B, C, D에서 포물선과 만난다.

점 A, B, C, D의 좌표를 구해 보자.

여기서

임을 알 수 있습니다.

∠O는 공통이므로

마치며

포물선이 닮음 도형이라는 사실은 단순한 호기심거리가 아닙니다.

오늘 예제 3처럼, 이미 계산해 둔 결과를 닮음비만으로 다른 포물선에 그대로 적용할 수 있다는 것은 실전에서 매우 강력한 도구가 됩니다. 특히 여러 포물선이 함께 등장하는 문제에서, 매번 처음부터 적분하지 않고 비율 관계로 빠르게 답을 찾아내는 감각을 길러두면 큰 도움이 됩니다.

짱샘수학에서는 이렇게 서로 다른 단원의 개념(닮음과 적분)이 어떻게 연결되는지도 함께 짚어드리며

수업을 진행하고 있습니다.

학생들이 지금 이런 심화 연결 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.

삼차함수의 극댓값과 극솟값을 각각 구한 뒤 더하는 문제, 다들 한 번쯤 풀어보셨을 겁니다.

그런데 사실 두 극값을 따로 계산할 필요 없이,

변곡점의 함숫값 하나만 알면 곧바로 그 합을 구할 수 있는 공식이 있습니다.

오늘은 이 공식이 어떻게 나오는지 증명부터,

실제 문제에 적용하는 방법까지 짱샘수학에서 정리해드리겠습니다.

핵심 공식

삼차함수 f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)가 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 이 두 값의 합은 다음과 같습니다.

극댓값 + 극솟값 = 2 × f(변곡점의 x좌표)

변곡점의 x좌표는 이미 알고 계신 것처럼 -b/(3a) 이므로, 이 값을 f(x)에 대입해서 2배 하면 끝입니다.

극점의 x좌표를 따로 구하지 않아도 된다는 것이 이 공식의 핵심입니다.

이 식을 전개하면 다음과 같이 정리됩니다.

​

여기서 u²의 계수가 등장하지 않는다는 점이 중요합니다.

​우변은 u에 대한 홀함수입니다(u를 −u로 바꾸면 전체 부호가 반대로 바뀝니다).

​두 식을 더하면 우변이 정확히 상쇄되어 0이 됩니다.

​

따라서:

​좌변이 바로 극댓값과 극솟값의 합입니다.

​두 극점의 좌표를

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​

예제 1. 기본 공식으로 바로 계산하기

문제: f(x) = x³−3x 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=1, b=0 이므로 변곡점의 x좌표는 x₀ = 0 입니다.

f(0) = 0

극댓값+극솟값 = 2×f(0) = 0

직접 검산해보면, f '(x)=3x²−3=0에서 극점은 x=−1, 1이고 f(−1)=2, f(1)=−2로 합이 0이 되어

공식과 정확히 일치합니다.

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예제 2. 극점을 구하지 않고 계수가 있는 함수에 적용하기

문제: f(x) = x³−6x²+9x+1 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=1, b=−6 이므로 x₀ = −(−6)/(3×1) = 2

f(2) = 8−24+18+1 = 3

극댓값+극솟값 = 2×3 = 6

f '(x)=0의 근을 구해서 두 극값을 각각 계산하는 대신, 변곡점 하나만 대입해서 끝냈습니다.

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예제 3. 계수가 여러 개인 경우

문제: f(x) = 2x³+3x²−12x+5 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=2, b=3 이므로 x₀ = −3/(3×2) = −1/2

f(−1/2) = 2×(−1/8) + 3×(1/4) − 12×(−1/2) + 5 = −1/4 + 3/4 + 6 + 5 = 11.5

극댓값+극솟값 = 2×11.5 = 23

답: 23

검산해보면 f '(x)=6x²+6x−12=6(x+2)(x−1)에서 극점은 x=−2, 1이고,

f(−2)=25, f(1)=−2로 합이 정확히 23이 됩니다.

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예제 4. 거꾸로 활용하기 — 조건에서 미지수 구하기

문제: f(x) = x³−3x²+k 의 극댓값과 극솟값의 합이 8일 때, 상수 k의 값을 구하시오.

풀이

a=1, b=−3 이므로 x₀ = −(−3)/(3×1) = 1

f(1) = 1−3+k = k−2

극댓값+극솟값 = 2×(k−2) = 2k−4

문제에서 이 값이 8이라고 했으므로:

2k−4 = 8

2k = 12

k = 6

이렇게 극값을 직접 구하지 않고도,

합에 대한 조건만으로 미지수를 바로 찾아낼 수 있습니다.

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오늘 배운 내용 정리

문제 유형	필요한 계산	핵심 포인트
예제 1, 2	변곡점 x좌표 → 함숫값 → 2배	극점을 따로 구할 필요 없음
예제 3	계수가 많아도 동일한 절차	a, b만 정확히 대입
예제 4	공식을 거꾸로 활용	합 조건 → 미지수 역산

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마치며

이 공식의 핵심은 결국 "삼차함수는 변곡점을 중심으로 점대칭"이라는 사실 하나입니다.

두 극점이 변곡점으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있고 대칭이기 때문에,

두 함숫값의 합이 변곡점 함숫값의 2배로 정리되는 것입니다.

공식을 단순히 암기하기보다 이 대칭 구조를 이해하고 나면,

극값의 차를 구하는 공식이나 다른 삼차함수 성질들과도 자연스럽게 연결해서 이해할 수 있습니다.

짱샘수학에서는 이런 공식을 다룰 때도 결과만 전달하지 않고,

치환과 대칭성을 이용한 증명 과정을 함께 짚어드리고 있습니다.

학생들이 지금 이런 삼차함수 심화 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면

편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.

지난 글에서 초등학교부터 고등학교까지 나오는 삼각형 넓이 공식 9가지를 정리해드렸는데요,

개념만 보고 넘어가면 실제 문제에서 어떤 공식을 골라야 할지 감이 잘 안 잡히실 수 있습니다.

오늘은 각 공식을 실제 문제에 직접 적용해보면서,

"이런 조건이 주어지면 이 공식을 쓴다"는 감각을 확실히 잡아보겠습니다.

예제 1. 기본형 복습 — 좌표에서 밑변과 높이 찾기

문제: 좌표평면 위 세 점 A(0,0), B(6,0), C(2,4)로 이루어진 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

두 점 A, B가 모두 x축 위에 있으므로, 선분 AB를 밑변으로 잡으면 밑변의 길이는 6입니다. 점 C의 y좌표가 그대로 높이가 되므로 높이는 4입니다.

답: 12

두 점이 축 위에 나란히 있을 때는, 굳이 복잡한 공식을 쓰지 않고 기본 공식만으로 충분히 빠르게 풀립니다.

예제 2. 두 변과 사잇각이 주어졌을 때 — 삼각비 공식

문제: 두 변의 길이가 각각 6, 8이고 그 사잇각이 60도인 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

두 변과 사잇각이 주어졌으므로 삼각비 공식을 사용합니다.

높이를 따로 구하지 않고, 사잇각의 사인값만으로 바로 계산했습니다.

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예제 3. 세 변의 길이만 주어졌을 때 — 헤론의 공식

문제: 세 변의 길이가 각각 5, 6, 7인 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

각도 정보가 전혀 없고 세 변의 길이만 주어졌으므로 헤론의 공식을 사용합니다. 먼저 반둘레를 구합니다.

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풀이

이번에는 어떤 변도 축과 평행하지 않으므로, 신발끈 공식을 사용하는 것이 가장 빠릅니다.

예제 5. 두 벡터로 주어졌을 때 — 벡터 외적 공식

문제: 한 점에서 뻗어나가는 두 벡터가 각각 (3,1), (2,4)일 때, 이 두 벡터가 이루는 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

두 벡터 성분으로 바로 넓이를 구하는 공식을 사용합니다.

이 공식은 사실 신발끈 공식과 원리가 같습니다.

한 꼭짓점을 원점으로 옮겨서 생각하면, 신발끈 공식이 그대로 벡터 외적 공식이 됩니다.

예제 6. 종합문제 — 외접원과 내접원의 반지름 공식

문제: 세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 외접원의 반지름 R과 내접원의 반지름 r을 이용해, 각각의 공식으로 넓이를 구하시오.

풀이

외접원 반지름 공식 활용

3-4-5 직각삼각형은 빗변이 5이므로, 외접원의 반지름은 빗변의 절반입니다. R = 5/2

내접원 반지름 공식 활용

반둘레 s = (3+4+5)/2 = 6 이고, 직각삼각형의 넓이를 기본 공식으로 먼저 구하면 (1/2)×3×4=6 입니다.

이 값을 이용해 내접원 반지름을 역으로 구하면 r=1이 됩니다.

(지난 "외심·내심·방심" 글에서 같은 삼각형으로 이미 확인했던 값입니다.)

넓이 = r × s = 1 × 6 = 6

답: 두 방법 모두 넓이 6으로 일치

서로 다른 두 공식으로 같은 답이 나오는 것을 확인했습니다.

이렇게 검산까지 해보는 습관을 들이면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.

지금까지 정리해드린 거리곱, 조립제법, 지수함수 고속적분에 이어

오늘은 삼차함수와 그 접선으로 둘러싸인 넓이를 한 번에 구하는 공식을 정리하겠습니다.

흔히 "1/12 공식"이라고 불리는 이 공식은, 적분 구간을 나누고 직접 계산하는 대신

두 교점의 x좌표 차이만 알면 곱셈 몇 번으로 넓이가 나오는 강력한 도구입니다.

​

여기서 α는 접점의 x좌표(이중근), β는 곡선과 다시 만나는 점의 x좌표(단순근)입니다.

두 교점의 x좌표 차이 (β-α)만 알면,

네제곱하고 최고차항 계수를 곱한 뒤 12로 나누는 것으로 끝입니다.

적분 구간을 나누거나 원래 함수를 직접 대입할 필요가 없습니다.

증명

α에서 β까지 f(x)-g(x)를 적분해보겠습니다.

계산을 간단히 하기 위해 t = x-α로 치환하면, x-β = t-(β-α)가 되므로, h = β-α 라고 두면:

우변을 전개해서 적분하면:

부호는 곡선과 직선의 위아래 관계에 따라 달라지므로,

넓이는 절댓값을 취해 다음과 같이 정리됩니다.

분수 1/4와 1/3의 차이가 정확히 1/12가 되는 것이 이 공식 이름의 유래입니다.

실전 예제로 확인하기

문제:

삼차함수 f(x) = 3x³-6x²+2x+1 이 있습니다.

직선 y = 2x+1 은 x=0에서 이 곡선과 접하고, x=2에서 다시 만납니다.

곡선과 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

풀이

1단계. 조건 확인

f(x) - (2x+1) = 3x³-6x² = 3x²(x-2)

x=0에서 이중근(접점), x=2에서 단순근(교점)인 것을 확인했습니다.

최고차항 계수는 a=3, α=0, β=2입니다.

2단계. 공식에 대입

답: 4

직접 적분으로 검산해보면

지수함수 적분, 공식 하나로 순식간에 끝내는 법
지금까지 거리곱, 조립제법처럼 계산을 빠르게 만드는 스킬들을 정리해드렸는데요, 

오늘은 지수함수가 곱해진 부정적분을 순식간에 끝내는 방법을 소개하겠습니다. 

어떤 함수와 그 도함수의 합(또는 차)이 지수함수와 곱해진 형태로 나오면, 

치환적분이나 부분적분 없이 곧바로 답을 쓸 수 있는 경우가 있습니다.

오늘의 핵심 공식
∫ ( f(x) + f '(x) ) eˣ dx = f(x)eˣ + C
∫ ( f(x) − f '(x) ) e⁻ˣ dx = −f(x)e⁻ˣ + C
식만 보면 낯설 수 있지만, 

사실 이 공식은 새로운 적분 이론이 아니라 곱의 미분법을 거꾸로 읽은 것뿐입니다. 

짱샘수학에서 이 공식이 왜 성립하는지부터 짚어드리겠습니다.

증명
f(x)eˣ 를 직접 미분해보겠습니다. 

곱의 미분법을 적용하면:
d/dx [ f(x)eˣ ] = f '(x)eˣ + f(x)eˣ = ( f(x) + f '(x) ) eˣ
f(x)eˣ를 미분했더니 정확히 ( f(x) + f '(x) ) eˣ 가 나왔습니다. 

미분의 반대가 적분이므로, 

이 과정을 거꾸로 뒤집으면 첫 번째 공식이 그대로 증명됩니다.

두 번째 공식도 같은 방식입니다.

−f(x)e⁻ˣ를 미분해보면:
d/dx [ −f(x)e⁻ˣ ] = −f '(x)e⁻ˣ + f(x)e⁻ˣ = ( f(x) − f '(x) ) e⁻ˣ
역시 두 번째 공식과 정확히 일치합니다. 

결국 이 두 공식은 곱의 미분법 결과를 미리 외워두고, 

문제에서 그 패턴이 보이면 바로 답을 적는 것이라고 이해하시면 됩니다.

예제를 통해 알아볼까요?
핵심은 적분하려는 식을 ( f(x) ± f '(x) ) × (지수함수) 형태로 쪼갤 수 있는지 확인하는 것입니다. 

예제 1
∫ (x+1)eˣ dx
f(x)=x 라고 두면 f '(x)=1이 되고, 

f(x)+f '(x) = x+1 — 주어진 식과 정확히 일치합니다. 

공식에 바로 대입하면:
∫ (x+1)eˣ dx = xeˣ + C

예제 2
∫ (x²+2x)eˣ dx
f(x)=x² 이라고 두면 f '(x)=2x이고, 

f(x)+f '(x)=x²+2x — 역시 일치합니다.
∫ (x²+2x)eˣ dx = x²eˣ + C

예제 3 
∫ (x−1)e⁻ˣ dx
f(x)=x, f '(x)=1로 두면

f(x)−f '(x) = x−1 — 두 번째 공식의 패턴과 일치합니다.
∫ (x−1)e⁻ˣ dx = −xe⁻ˣ + C
세 문제 모두 치환적분이나 부분적분 없이, 패턴만 확인하고 바로 답을 적는 것으로 끝났습니다.

언제 특히 유용할까요?
 

특히 부분적분을 두 번 이상 반복해야 하는 고차 다항식 × 지수함수 문제에서 체감 효과가 가장 큽니다.

주의하실 점
이 공식은 만능이 아닙니다. 

주어진 식이 ( f(x)+f '(x) )eˣ 또는 ( f(x)−f '(x) )e⁻ˣ 형태로 정확히 맞아떨어질 때만 사용할 수 있습니다. 

다음 두 가지를 꼭 확인해주세요.
1.지수의 부호와 식의 부호가 짝이 맞는지 확인해야 합니다.

   eˣ 앞에는 덧셈(f+f'), e⁻ˣ 앞에는 뺄셈(f−f')이 온다는 점을 거꾸로 기억하면 부호 실수가 잦아집니다.
2. 패턴에 맞지 않는 식이라면 억지로 끼워 맞추지 말고, 원래대로 부분적분을 사용해야 합니다.

    공식은 특정 구조를 빠르게 처리하는 도구일 뿐, 모든 지수함수 적분에 적용되는 것은 아닙니다.

마치며
오늘 정리한 공식은 결국 곱의 미분법을 거꾸로 활용하는 감각을 기르는 것이 핵심입니다. 

처음에는 식을 f(x)와 f '(x)로 쪼개는 과정이 낯설 수 있지만, 

몇 번 연습해보면 다항식만 보고도 바로 패턴이 눈에 들어오게 됩니다.

짱샘수학에서는 이런 계산 스킬을 다룰 때도 결과 공식을 외우게 하기보다, 

곱의 미분법에서 어떻게 이 식이 유도되는지 증명 과정을 먼저 짚어드리고 있습니다. 

학생들이 지금 이런 심화 적분 스킬을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.