하양짱샘수학이야기

1. 원에 외접하는 사각형 ➔ 피토 정리 (Pitot's Theorem)

조건: 사각형의 4개 변이 모두 하나의 원에 접함 (외접사각형)

​

공식: 상단 변 + 하단 변 = 좌측 변 + 우측 변 (a + c = b + d)

핵심 포인트: "마주 보는 두 변의 길이를 더하면 서로 같다!"

​

증명 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다.

꼭짓점 A, B, C, D에서 원까지의 접선의 길이를 각각 p, q, r, s라 하면

AB = p + q, BC = q + r, CD = r + s, DA = s + p입니다.

따라서 AB + CD = p + q + r + s = BC + DA입니다.

역도 성립해서, 마주 보는 변의 합이 같은 볼록사각형은 원에 외접합니다.

​

예제 1. 원에 외접하는 사각형 ABCD에서 AB = 7, BC = 5, CD = 9일 때 DA를 구하시오.

AB + CD = 16이므로 BC + DA = 16이어야 합니다. DA = 16 − 5 = 11

예제 2. 원에 외접하는 사각형의 넓이는 (내접원의 반지름) × (둘레의 절반)입니다. 둘레가 36이고 내접원의 반지름이 3이면 넓이는 3 × 18 = 54입니다.

공식: 대각선1 × 대각선2 = (마주 보는 변 a × c) + (마주 보는 변 b × d), 즉 e × f = ac + bd

​

핵심 포인트: "두 대각선의 곱 = 마주 보는 변의 곱들의 합!"

​

증명 사각형 ABCD의 대각선 AC 위에 ∠ABE = ∠CBD가 되는 점 E를 잡습니다.

 

• 삼각형 ABE와 삼각형 DBC는 닮음(∠BAE = ∠BDC, 같은 호 BC의 원주각)이므로 AE × BD = AB × DC
• 삼각형 ABD와 삼각형 EBC는 닮음(∠BDA = ∠BCE, 같은 호 AB의 원주각)이므로 EC × BD = BC × AD

두 식을 더하고 AE + EC = AC를 쓰면 AC × BD = AB × CD + BC × AD가 됩니다.

이 등식이 성립하면 네 점이 한 원 위에 있다는 역도 성립합니다.

3. 원에 내접하는 사각형의 넓이 ➔ 브라마굽타 공식 (Brahmagupta's Formula)

조건: 오직 원에 내접하는 사각형에서만, 네 변의 길이(a, b, c, d)만으로 넓이를 구할 수 있는 공식입니다.

삼각형에서 쓰이는 헤론의 공식의 확장판입니다.

​

공식: S = √( (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) ), 단 s는 사각형의 반둘레 s = (a + b + c + d) / 2

​

핵심 포인트: 각도를 몰라도 네 변의 길이만 알면 내접사각형의 넓이를 단숨에 구할 수 있는 강력한 무기입니다.

증명의 아이디어 대각선으로 사각형을 두 삼각형으로 나눕니다.

마주 보는 두 각의 합이 180°이므로

두 삼각형에서 코사인법칙으로 대각선을 두 가지로 표현한 식에서 코사인 값을 네 변으로 구할 수 있고,

두 삼각형의 넓이의 합 S = (1/2)(ab + cd) sin(각)에 대입해 정리하면 위 공식이 나옵니다.

(계산이 길어 다음 글에서 소개합니다.)

​

예제 6. (검산) 가로 3, 세로 4인 직사각형은 원에 내접합니다.

s = 7이므로 S = √(4 × 3 × 4 × 3) = √144 = 12로 실제 넓이 3 × 4와 일치합니다.

예제 7. 원에 내접하는 사각형의 네 변이 5, 6, 7, 6일 때 넓이를 구하시오.

s = 12이므로 S = √(7 × 6 × 5 × 6) = √1260 = 6√35

연결: 헤론의 공식 네 번째 변이 0이면 삼각형이 됩니다.

변이 13, 14, 15, 0이면 s = 21이므로 S = √(8 × 7 × 6 × 21) = 84로,

지난 글의 13-14-15 삼각형의 넓이와 같습니다.

4. 외접과 내접이 동시에 성립하는 사각형 ➔ 이중중심 사각형 넓이 공식

조건: 하나의 사각형이 원에 내접하면서 동시에 외접도 하는 경우 (쌍심사각형, Bicentric Quadrilateral)

공식: S = √(abcd) (네 변의 길이를 모두 곱한 뒤 루트를 씌운 값)

​

핵심 포인트: 내접사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고,

외접사각형이므로 피토 정리(a + c = b + d = s)가 성립하여 식이 아주 간단하게 약분됩니다.

넓이가 네 변의 곱의 제곱근으로 깔끔하게 떨어집니다.

​

증명 a + c = b + d = s이므로 s − a = c, s − b = d, s − c = a, s − d = b입니다.

이를 브라마굽타 공식에 대입하면 S = √(c × d × a × b) = √(abcd)입니다.

​

예제 8. 윗변 4, 아랫변 16, 다리 10인 이등변사다리꼴이 있다.

이 사다리꼴의 넓이와 내접원의 반지름을 구하시오.

이등변사다리꼴이므로 원에 내접하고, 4 + 16 = 10 + 10이므로 피토 정리에 의해 원에 외접합니다.

넓이는 S = √(4 × 10 × 16 × 10) = √6400 = 80이고,

외접사각형의 넓이 S = (반지름) × s에서 s = 20이므로 반지름은 80 ÷ 20 = 4입니다.

(높이가 √(100 − 36) = 8이고 넓이가 (4 + 16) ÷ 2 × 8 = 80,

내접원의 지름이 높이 8과 같다는 점으로도 확인됩니다.)

원 밖의 경우도 닮음으로 같은 결과를 얻습니다.

참고 원의 중심을 O, 반지름을 r이라 하면 이 곱은 원 밖의 점에서는 OP² − r²,

원 안의 점에서는 r² − OP²입니다.

점의 위치만으로 정해지는 값이라 방멱(power)이라고 부릅니다.

​

예제 9. (원 안) 원 안의 점 P에서 현 AB와 CD가 만난다.

PA = 6, PB = 4, PC = 3일 때 PD를 구하시오.

24 = 3 × PD이므로 PD = 8

​

예제 10. (원 밖의 두 할선) 원 밖의 점 P에서 두 할선을 그었다.

한 할선은 원과 PA = 3, AB = 5(따라서 PB = 8)이고,

다른 할선은 PC = 4이다. 현 CD의 길이를 구하시오.

PA × PB = 24이므로 PC × PD = 4 × PD = 24, PD = 6입니다. CD = 6 − 4 = 2

6. 접선과 할선 정리 (방멱 정리의 확장)

조건:​​ 원 밖의 한 점 P에서 원에 그은 접선(접점 T)과 할선

정리를 고르는 순서

1. 문제에 원에 접한다(외접)는 조건이 있으면 접선의 길이와 피토 정리를 생각합니다.

2. 원에 내접한다는 조건이 있으면 먼저 마주 보는 각의 합이 180°임을 확인하고,

길이가 필요하면 톨레미, 넓이가 필요하면 브라마굽타를 씁니다.

3. 내접과 외접이 둘 다 주어지면 이중중심 사각형의 넓이 공식 √(abcd)를 씁니다.

4. 한 점에서 두 직선이 원과 만나는 모양이 보이면 방멱 정리를, 한 직선이 접선이면 접선·할선 정리를 씁니다.

​

자주 하는 실수

1. 외접과 내접을 바꿉니다. 피토는 원에 외접(원이 사각형 안에 있음),

톨레미와 브라마굽타는 원에 내접(사각형이 원 안에 있음)입니다.

2. 브라마굽타 공식을 아무 사각형에 씁니다. 반드시 원에 내접하는 사각형에서만 성립합니다.

3. 방멱에서 곱을 잘못 짝짓습니다. 같은 직선 위의 두 선분을 곱하고, 다른 직선의 곱과 같다고 놓아야 합니다.

4. PB와 AB를 혼동합니다. PB는 점 P에서 먼 교점까지, AB는 두 교점 사이의 길이입니다.

1. 문제 상황

한 변의 길이가 a이고 높이가 h인 정삼각형 ABC가 있습니다.

정삼각형 내부의 임의의 점 P에서 세 변에 내린 수선의 길이를 각각 p, q, r라 할 때,

다음 식의 최솟값을 구하는 문제입니다.

​

[문제] p2 + q2 + r2 의 최솟값과 그때의 점 P의 위치를 구하시오.

이 문제를 접했을 때 변수가 3개나 나와서 당황하기 쉽지만,

비비아니 정리와 코시-슈바르츠 부등식을 연결하면 단 몇 줄 만에 명쾌하게 풀립니다.

2. 풀이 과정

▶ 1단계: 비비아니 정리로 조건식 세우기

정삼각형 내부의 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합은 정삼각형의 높이 h와 같습니다.

▶ 2단계: 코시-슈바르츠 부등식 적용하기

실수 p, q, r에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용합니다.

좌변과 우변을 정리하면 다음과 같습니다.

▶ 3단계: 조건식 대입 및 최솟값 도출

p + q + r = h 이므로 우변에 대입합니다.

따라서 p2 + q2 + r2 의 최솟값은 h2 / 3 이 됩니다.

3. 등호 성립 조건과 점 P의 기하학적 위치

부등식 문제에서 가장 중요한 것은 "언제 최솟값을 가지는가?"를 파악하는 것입니다.

코시-슈바르츠 부등식의 등호는 각 항의 비율이 같을 때 성립합니다.

즉, 세 수선의 길이가 모두 같을 때(p = q = r = h/3) 제곱의 합이 최솟값을 가집니다.

​

그렇다면 정삼각형 내부에서 세 변까지의 거리가 모두 같은 점 P는 어디일까요?

바로 정삼각형의 내심이자 외심, 그리고 무게중심입니다.

​

[결론] 점 P가 정삼각형의 무게중심에 위치할 때, 세 수선의 제곱의 합은 최솟값 h2 / 3 을 가집니다.

4. 짱샘의 실전 적용 팁

한 변의 길이가 6인 정삼각형이 주어졌다고 가정해 봅시다.

1. 높이 h 구하기:

2. 최솟값 공식 적용:

복잡한 좌표계 설정이나 이차함수 변형 없이,

비비아니 정리와 코시-슈바르츠 부등식의 구조를 이해하고 있다면

10초 만에 정답을 도출할 수 있습니다.

5. 마치며

기하 문제에서 대수적 부등식(코시-슈바르츠)이 결합될 때 학생들이 느끼는 난이도는 급격히 올라갑니다.

하지만 도형이 가진 불변의 성질(비비아니 정리)과 식의 최솟값 조건의 연결고리를 이해하면

기하학적 통찰력이 한 단계 업그레이드됩니다.

​

공식을 외우는 것에 그치지 않고 왜 그렇게 되는지 원리를 파악하는 수업,

하양짱샘수학이 함께합니다.

• 원리를 꿰뚫는 1:1 맞춤 지도 | 하양짱샘수학
• 상담 문의: 프로필 상단 링크 및 카카오톡 오픈채팅 참고

---

1. 비비아니 정리란 무엇인가?

이탈리아의 수학자 빈첸초 비비아니(Vincenzo Viviani)가 발견한 정리로,

핵심 포인트:

점 P가 어디에 위치하든 상관없이, 세 수선의 길이를 더한 값은

언제나 그 정삼각형의 높이(h)와 같다는 불변의 성질을 가집니다.

2. 넓이를 이용한 직관적인 증명 (유도 과정)

비비아니 정리는 복잡한 삼각함수나 피타고라스 정리 없이,

'도형의 넓이' 개념 하나만으로 아주 간단하게 증명할 수 있습니다.

①. 전체 정삼각형 설정:

한 변의 길이가 a이고 높이가 h인 정삼각형 ABC를 생각합니다.

이 정삼각형의 넓이를 S라 하면, 넓이는 다음과 같습니다.

③. 넓이의 합으로 식 세우기:

전체 정삼각형의 넓이는 세 작은 삼각형의 넓이의 합과 같습니다.

따라서 전체 넓이 S는 다음과 같습니다.

④. 최종 결론 도출:

처음에 구한 전체 넓이 식과 방금 구한 합산 식이 서로 같아야 하므로,

가 유도됩니다. 좀더 이어보면,

https://blog.naver.com/hy-jjangmath/224462879345

3. 비비아니 정리가 주는 시사점

이 정리는 단순히 수선의 합이 일정하다는 것에 그치지 않고,

정다각형 및 정다면체로 확장되는 기하학적 사고의 기초가 됩니다.

수능이나 내신 심화 문항에서 미지수를 설정하고 식을 간결하게 정리할 때

강력한 무기로 활용됩니다.

4. 마치며

기하 문제는 눈에 보이는 복잡한 선들에 현혹되지 않고,

도형이 가진 대칭성과 넓이의 보존성을 찾아내는 것이 핵심입니다.

공식을 무작정 암기하기보다

"왜 넓이의 합으로 증명되는지" 그 원리를 이해하는 학생들이 되기를 바랍니다.

​

하양짱샘수학은 학생들이 수학의 본질적인 원리를 깨우치고

응용력을 기를 수 있도록 1:1 맞춤 지도를 지향합니다.

고등 기하 학습에 고민이 있는 학생들은 언제든 문의해 주세요.

​

상담 문의: 프로필 상단 링크 및 카카오톡 오픈채팅

하양짱샘수학

핵심 아이디어

이차함수 y = a(x − p)² + q 와 그래프 밖의 한 점 (u, v)가 있습니다.

f(x)를 이 이차함수라고 하겠습니다.

이 점에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 t라 하면

입니다.

이차항의 계수가 a = 1 또는 a = −1일 때는 이것이 더 간단해집니다.

말로 풀면 다음과 같습니다.

• 가로 간격 = 외부 점에서 접점까지의 x좌표의 차이
• 세로 간격 = 외부 점에서 바로 위(또는 아래)에 있는 곡선 위의 점까지의 거리,

즉 | f(u) − v | 가로 간격은 세로 간격의 제곱근이고,

접점은 외부 점의 x좌표를 기준으로 좌우로 같은 거리에 하나씩 있습니다.

증명

접점의 x좌표를 t라 하면 그 점에서의 접선은

입니다.

이 접선이 외부 점 (u, v)를 지난다는 조건을 쓰면

s = t − p, w = u − p 라고 놓으면 u − t = w − s 이므로

여기서 s − w = t − u 이고, a w² + q = f(u)이므로 정리하면

가 됩니다.

이 식이 위의 핵심 아이디어의 정확한 형태입니다.

a = ±1이면 나눗셈이 사라집니다.

가지를 함께 확인할 수 있습니다.

• f(u) − v와 a의 부호가 같을 때만 근호 안이 양수가 되어 접선이 두 개 생깁니다.

       점이 그래프 "안쪽"에 있으면 근호 안이 음수여서 접선이 존재하지 않습니다.

• t = u ± (같은 값)이므로 두 접점의 x좌표의 중점이 u입니다.

        위 "두 접선의 교점은 두 접점의 중점" 글의 성질과 같은 내용입니다.

예제 1.

문제: 이차함수 y = x²의 그래프 밖의 점 (1, −3)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

​

표준 풀이 접점을 (t, t²)이라 하면 접선은 y = 2tx − t²입니다.

점 (1, −3)을 지나므로 −3 = 2t − t²,

즉 t² − 2t − 3 = 0, (t − 3)(t + 1) = 0

이므로 t = −1 또는 3입니다.

​

빠른 풀이 x = 1 위의 곡선 위의 점은 (1, 1)이므로 세로 간격은 1 − (−3) = 4입니다.

가로 간격은 √4 = 2이므로 접점의 x좌표는 1 ± 2, 즉 −1과 3입니다.

답: t = −1, 3

이 예제에서 꼭짓점 (0, 0)까지의 세로 간격은 3이어서 √3이 됩니다.

이것은 실제 가로 간격 2와 맞지 않으므로, 기준은 꼭짓점이 아니라 "바로 위의 곡선"입니다.

예제 2. 축 위의 점, 위로 볼록한 경우

문제: 이차함수 y = −(x − 2)² + 2의 그래프 밖의 점 (2, 3)에서 그은 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

​

빠른 풀이 점 (2, 3)은 축 x = 2 위에 있으므로 바로 아래의 곡선 위의 점은 꼭짓점 (2, 2)입니다.

세로 간격은 3 − 2 = 1이고 가로 간격은 √1 = 1이므로 접점의 x좌표는 1과 3입니다.

검산: x = 3에서의 접선은 기울기 −2(3 − 2) = −2, 접점 (3, 1)이므로 y = −2(x − 3) + 1 = −2x + 7입니다.

x = 2를 넣으면 3으로 점 (2, 3)을 지납니다.

답: x = 1, 3

예제 3. 실전형 — 두 접선의 방정식 구하기

문제: 점 (4, 2)에서 곡선 y = x² − 2x + 3에 그은 두 접선의 방정식을 구하시오.

풀이 y = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2로 a = 1입니다.

x = 4에서 곡선 위의 점은 (4, 11)이므로 세로 간격은 11 − 2 = 9,

가로 간격은 √9 = 3입니다.

접점의 x좌표는 4 ± 3, 즉 1과 7입니다.

• t = 1: 접점 (1, 2), 기울기 2(1 − 1) = 0 → 접선 y = 2
• t = 7: 접점 (7, 38), 기울기 2(7 − 1) = 12 → 접선 y = 12(x − 7) + 38 = 12x − 46

두 접선 모두 점 (4, 2)를 지나는지 확인합니다.

y = 2는 당연하고, 12 × 4 − 46 = 2입니다.

답: y = 2, y = 12x − 46

예제 4. 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 넓이

문제: 예제 3의 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

풀이: 접점의 x좌표가 1과 7이므로 두 접점의 가로 거리는 6입니다.

지난 "이차함수와 두 접선 사이의 넓이(1/12 공식)" 글의 공식을 쓰면

넓이 = |a| ÷ 12 × (두 접점의 가로 거리)³ = 1 ÷ 12 × 6³ = 216 ÷ 12 = 18

직접 적분으로 확인하면, 교점의 x좌표가 두 접점의 중점 4이므로

입니다.

답: 18

접점을 이차방정식 없이 바로 찾은 덕분에,

접선의 방정식과 넓이를 구하는 모든 과정이 짧아졌습니다.

예제 5. 이차항의 계수가 1이 아닌 경우

문제: ​이차함수 y = 2x²의 그래프 밖의 점 (1, −6)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

풀이: 이때는 일반 식 (t − u)² = ( f(u) − v ) ÷ a를 씁니다.

f(1) = 2이므로 f(u) − v = 2 − (−6) = 8이고, a = 2이므로

(t − 1)² = 8 ÷ 2 = 4 → t − 1 = ±2 → t = −1 또는 3

검산: t = −1에서 접선은 y = −4(x + 1) + 2 = −4x − 2이고

x = 1이면 −6, t = 3에서 접선은 y = 12(x − 3) + 18 = 12x − 18이고 x = 1이면 −6입니다.

답: t = −1, 3

이차항의 계수가 1이 아니면 세로 간격을 |a|로 나눈 뒤에 제곱근을 취해야 합니다.

마치며

이 규칙의 핵심은 "접점은 외부 점을 기준으로 좌우 대칭이고,

그 간격은 세로 간격의 제곱근에서 나온다"는 한 문장입니다.

증명 과정을 이해하고 있으면 a가 1이 아닐 때도, 축 위의 점일 때도 스스로 식을 세울 수 있습니다.

​

짱샘수학은 1:1과 소그룹 과외 형식으로, 공식을 외우게 하기보다 왜 그렇게 되는지부터 함께 확인합니다. 하양에서 고등 수학의 접선 문제가 고민이라면 풀어본 문제를 가지고 카카오톡 오픈채팅으로 편하게 문의 주세요.

하양짱샘수학

안녕하세요, 하양 수학전문 하양짱샘수학입니다!

우리가 학교에서 도형 문제를 풀 때 당연하게 쓰는 "점은 크기가 없고, 선은 폭이 없다"라는 개념,

그리고 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실은 어디서부터 시작되었을까요?

​

바로 약 2,300년 전 고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)가 집대성한

저서 <원론(Elements, 기하학 원본)>에서 시작되었습니다.

오늘은 수학의 기초가 되는 유클리드 기하학의 모든 것을 알기 쉽게 정리해 드릴게요!

1. 유클리드와 인류 최고의 베스트셀러 <원론>

기원전 300년경, 알렉산드리아의 수학자 유클리드는

당시까지 발견된 기하학과 수론의 모든 지식을 집대성하여 총 13권으로 이루어진 <원론>을 저술했습니다.

• 범위: 제1권부터 제6권까지는 평면기하학, 제7권부터 제9권까지는 정수론, 제10권은 무리수, 제11권부터 제13권까지는 입체기하학을 다루고 있습니다.
• 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 인쇄된 책 중 하나로 꼽힐 만큼 서양 학문 체계의 근간이 되었습니다.

2. <원론>의 시작: 23개의 정의와 공리·공준

유클리드는 수학을 증명하기 위해 아무도 부정할 수 없는 명확한 출발점들을 세웠습니다.

​

▶ 23개의 정의 (Definitions): 도형을 다루기 전, 용어의 약속부터 시작합니다.

1. '점'은 넓이가 없는 위치이다.
2. '선'은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 양 끝은 점으로 이루어져 있다.
4. '직선'은 고르게 놓여있는 점 위에 있는 선이다.
5. '면'은 길이와 폭을 갖고 있다.
6. '면'의 끝은 선으로 이루어져 있다.
7. '평면'은 고르게 놓여있는 선 위에 있는 면이다.
8. '평면각'은 면에 있는 두 선의 기울기로 두 선은 만나지만 같은 직선 위에 놓여있지는 않다.
9. 여러 직선이 각을 만들었을 때의 각은 곧은각이라고 불린다.
10. 한 직선 위에 다른 직선이 놓이고, 두 직선 사이에 만들어진 두 각이 서로 같을 시에 두 각은 직각으로 불리며 두 선은 서로 수직이다.
11. 둔각은 직각보다 큰 각이다.
12. 예각은 직각보다 작은 각이다.
13. 경계는 모든 것의 끝이다.
14. 도형은 경계를 갖고 있는 것이다.
15. 원은 한 점으로부터 길이가 같은 직선이 뻗어 나갔을 때 만나는 점들로 둘러싸여 만들어진 평면 도형이다.
16. 처음 기준이 된 점은 원의 중심으로 부른다.
17. 지름이란 원의 둘레에서 원의 중심을 거쳐 원의 둘레로 이어진 직선을 말하며 또한 원을 반으로 나누는 선이다.
18. 반원이란 원을 지름으로 이등분하였을 때의 한쪽으로 반원의 중심은 원의 중심과 같다.
19. 다각형이란 직선들로 둘러싸인 평면 도형으로 삼각형은 세 개의 직선, 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형이다.
20. 삼각형 중 정삼각형은 세 개의 변이 같은 것이고 이등변 삼각형은 두 개의 변이 같은 것이며 부등변 삼각형은 모든 변이 다른 삼각형이다.
21. 또한 직각삼각형은 직각을 갖고 있는 삼각형이며 둔각삼각형은 둔각을 갖고 있는 삼각형이고 예각삼각형은 예각만을 갖고 있는 삼각형이다.
22. 사각형 중 정사각형은 네 변이 모두 같고 직각으로만 이루어져 있는 것이며, 직사각형은 네 각이 모두 직각이지만 네 개의 변이 모두 같지는 않다. 마름모는 네 개의 변이 모두 같지만 직각으로 이루어져 있지 않고, 평행사변형은 마주보는 각과 변은 서로 같지만 네 개의 변과 각이 모두 같지는 않다.
23. 한 평면 위에서 두 직선이 양쪽 어디에서도 만나지 않을 때 평행하다고 하고, 서로 평행한 두 직선을 평행선이라 한다.

​

고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스( Menelaos: 70년 ~ 140년)가 증명한 정리로

삼각형 ABC와 한 직선이 만날 때 성립하는 정리입니다.

​

[정리 내용]

​

삼각형 ABC의 각 변(또는 연장선) AC, BC, AB 위에 있는 점을 각각 E, D, F 이라 하고,

이 세 점 E, D, F이 한 직선 위에 있을 때 다음 식이 성립합니다.

​

---

2. 외우기 쉬운 짱샘의 꿀팁: "꼭-점-점-꼭" 법칙!

공식이 길어서 외우기 힘들어 보이는 학생들이 많죠?

그럴 땐 "꼭짓점 ➔ 교점 ➔ 교점 ➔ 꼭짓점" 순서의 순환 리듬을 기억하면 됩니다!

1. 삼각형의 한 꼭짓점 A에서 출발합니다.
2. 직선과 만나는 교점으로 갔다가, 다음 꼭짓점으로 이동합니다.
3. 이 순서대로 삼각형을 한 바퀴 돌아 제자리(A)로 돌아오면, 분수의 곱이 항상 1이 됩니다.

3. 증명 해 볼까요.

점 A, B, C에서 반직선 FE에 내린 수선의 발을 각각 X, Y, Z 라고 할 때, △FZB ∽△ FXA 이므로

다음이 성립한다.

이와 같이 닮음을 이용한다면, 점B 에서 선분EF에 평행한 직선을 그어 증명해도 된다.

또한 점 Y를 원점으로 보고, 직선CY를 y축으로, 직선EF를 x축으로 보고 닮음을 이용하면 더 쉬울 수 있다.

물론 그건 모두 개개인의 성향 차이이다.

​

또, 이 정리의 역으로

5. 메넬라오스 정리 마스터 연습문제

​

[문제 1] 기본 적용

아래 그림과 같이 삼각형 ABC의 변 AB 위의 점을 P, 변 AC의 연장선 위의 점을 Q라 하자.

직선 PQ가 변 BC의 연장선과 만나는 점을 R이라 할 때, AP = 3, PB = 2, AQ = 4 이다.

점 R이 변 BC의 연장선 위에서 BR : RC = 2 : 1을 만족할 때, QC의 길이 를 구하시오.

[힌트]: 꼭짓점 A에서 출발하여 "꼭-점-점-꼭" 순서(A →E→C→D→B→F→A)로 분수를 세워보세요!

[풀이] 메넬라오스 공식에 따라 점 A에서 출발하여 한 바퀴를 돕니다.

[풀이] 

△DBC와 직선 AF의 메넬라오스 적용하면,

점 A, O, F가 일직선

"꼭 - 점 - 점 - 꼭" 순서로 한바퀴 돌기

중학교, 고등학교에 올라가면서 수학 문제집을 펼치면

학생들을 가장 먼저 당황하게 만드는 것이 있습니다.

바로 알파벳과 낯선 기호들인데요.

"선생님, x, y도 머리 아픈데 알파벳이랑 이상한 기호가 왜 이렇게 많이 나와요?"

학생들이 자주 하는 질문입니다.

​

하지만 기호의 의미와 쓰임새를 알면 수학은 훨씬 명확하고 쉬워집니다!

오늘은 수학에서 가장 많이 쓰이는 그리스 문자 및 라틴 문자 대소문자가 어디에,

어떻게 쓰이는지 완벽하게 정리해 드릴게요.

1. 자주 쓰이는 주요 그리스 문자 대소문자

수학이나 물리학에서 그리스 문자는 변수, 각도, 상수 등을 나타낼 때 필수적으로 사용됩니다.