하양짱샘수학이야기

핵심 아이디어

이차함수 y = a(x − p)² + q 와 그래프 밖의 한 점 (u, v)가 있습니다.

f(x)를 이 이차함수라고 하겠습니다.

이 점에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 t라 하면

입니다.

이차항의 계수가 a = 1 또는 a = −1일 때는 이것이 더 간단해집니다.

말로 풀면 다음과 같습니다.

• 가로 간격 = 외부 점에서 접점까지의 x좌표의 차이
• 세로 간격 = 외부 점에서 바로 위(또는 아래)에 있는 곡선 위의 점까지의 거리,

즉 | f(u) − v | 가로 간격은 세로 간격의 제곱근이고,

접점은 외부 점의 x좌표를 기준으로 좌우로 같은 거리에 하나씩 있습니다.

증명

접점의 x좌표를 t라 하면 그 점에서의 접선은

입니다.

이 접선이 외부 점 (u, v)를 지난다는 조건을 쓰면

s = t − p, w = u − p 라고 놓으면 u − t = w − s 이므로

여기서 s − w = t − u 이고, a w² + q = f(u)이므로 정리하면

가 됩니다.

이 식이 위의 핵심 아이디어의 정확한 형태입니다.

a = ±1이면 나눗셈이 사라집니다.

가지를 함께 확인할 수 있습니다.

• f(u) − v와 a의 부호가 같을 때만 근호 안이 양수가 되어 접선이 두 개 생깁니다.

       점이 그래프 "안쪽"에 있으면 근호 안이 음수여서 접선이 존재하지 않습니다.

• t = u ± (같은 값)이므로 두 접점의 x좌표의 중점이 u입니다.

        위 "두 접선의 교점은 두 접점의 중점" 글의 성질과 같은 내용입니다.

예제 1.

문제: 이차함수 y = x²의 그래프 밖의 점 (1, −3)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

​

표준 풀이 접점을 (t, t²)이라 하면 접선은 y = 2tx − t²입니다.

점 (1, −3)을 지나므로 −3 = 2t − t²,

즉 t² − 2t − 3 = 0, (t − 3)(t + 1) = 0

이므로 t = −1 또는 3입니다.

​

빠른 풀이 x = 1 위의 곡선 위의 점은 (1, 1)이므로 세로 간격은 1 − (−3) = 4입니다.

가로 간격은 √4 = 2이므로 접점의 x좌표는 1 ± 2, 즉 −1과 3입니다.

답: t = −1, 3

이 예제에서 꼭짓점 (0, 0)까지의 세로 간격은 3이어서 √3이 됩니다.

이것은 실제 가로 간격 2와 맞지 않으므로, 기준은 꼭짓점이 아니라 "바로 위의 곡선"입니다.

예제 2. 축 위의 점, 위로 볼록한 경우

문제: 이차함수 y = −(x − 2)² + 2의 그래프 밖의 점 (2, 3)에서 그은 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

​

빠른 풀이 점 (2, 3)은 축 x = 2 위에 있으므로 바로 아래의 곡선 위의 점은 꼭짓점 (2, 2)입니다.

세로 간격은 3 − 2 = 1이고 가로 간격은 √1 = 1이므로 접점의 x좌표는 1과 3입니다.

검산: x = 3에서의 접선은 기울기 −2(3 − 2) = −2, 접점 (3, 1)이므로 y = −2(x − 3) + 1 = −2x + 7입니다.

x = 2를 넣으면 3으로 점 (2, 3)을 지납니다.

답: x = 1, 3

예제 3. 실전형 — 두 접선의 방정식 구하기

문제: 점 (4, 2)에서 곡선 y = x² − 2x + 3에 그은 두 접선의 방정식을 구하시오.

풀이 y = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2로 a = 1입니다.

x = 4에서 곡선 위의 점은 (4, 11)이므로 세로 간격은 11 − 2 = 9,

가로 간격은 √9 = 3입니다.

접점의 x좌표는 4 ± 3, 즉 1과 7입니다.

• t = 1: 접점 (1, 2), 기울기 2(1 − 1) = 0 → 접선 y = 2
• t = 7: 접점 (7, 38), 기울기 2(7 − 1) = 12 → 접선 y = 12(x − 7) + 38 = 12x − 46

두 접선 모두 점 (4, 2)를 지나는지 확인합니다.

y = 2는 당연하고, 12 × 4 − 46 = 2입니다.

답: y = 2, y = 12x − 46

예제 4. 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 넓이

문제: 예제 3의 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

풀이: 접점의 x좌표가 1과 7이므로 두 접점의 가로 거리는 6입니다.

지난 "이차함수와 두 접선 사이의 넓이(1/12 공식)" 글의 공식을 쓰면

넓이 = |a| ÷ 12 × (두 접점의 가로 거리)³ = 1 ÷ 12 × 6³ = 216 ÷ 12 = 18

직접 적분으로 확인하면, 교점의 x좌표가 두 접점의 중점 4이므로

입니다.

답: 18

접점을 이차방정식 없이 바로 찾은 덕분에,

접선의 방정식과 넓이를 구하는 모든 과정이 짧아졌습니다.

예제 5. 이차항의 계수가 1이 아닌 경우

문제: ​이차함수 y = 2x²의 그래프 밖의 점 (1, −6)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.

풀이: 이때는 일반 식 (t − u)² = ( f(u) − v ) ÷ a를 씁니다.

f(1) = 2이므로 f(u) − v = 2 − (−6) = 8이고, a = 2이므로

(t − 1)² = 8 ÷ 2 = 4 → t − 1 = ±2 → t = −1 또는 3

검산: t = −1에서 접선은 y = −4(x + 1) + 2 = −4x − 2이고

x = 1이면 −6, t = 3에서 접선은 y = 12(x − 3) + 18 = 12x − 18이고 x = 1이면 −6입니다.

답: t = −1, 3

이차항의 계수가 1이 아니면 세로 간격을 |a|로 나눈 뒤에 제곱근을 취해야 합니다.

마치며

이 규칙의 핵심은 "접점은 외부 점을 기준으로 좌우 대칭이고,

그 간격은 세로 간격의 제곱근에서 나온다"는 한 문장입니다.

증명 과정을 이해하고 있으면 a가 1이 아닐 때도, 축 위의 점일 때도 스스로 식을 세울 수 있습니다.

​

짱샘수학은 1:1과 소그룹 과외 형식으로, 공식을 외우게 하기보다 왜 그렇게 되는지부터 함께 확인합니다. 하양에서 고등 수학의 접선 문제가 고민이라면 풀어본 문제를 가지고 카카오톡 오픈채팅으로 편하게 문의 주세요.

하양짱샘수학

안녕하세요, 하양 수학전문 하양짱샘수학입니다!

우리가 학교에서 도형 문제를 풀 때 당연하게 쓰는 "점은 크기가 없고, 선은 폭이 없다"라는 개념,

그리고 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실은 어디서부터 시작되었을까요?

​

바로 약 2,300년 전 고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)가 집대성한

저서 <원론(Elements, 기하학 원본)>에서 시작되었습니다.

오늘은 수학의 기초가 되는 유클리드 기하학의 모든 것을 알기 쉽게 정리해 드릴게요!

1. 유클리드와 인류 최고의 베스트셀러 <원론>

기원전 300년경, 알렉산드리아의 수학자 유클리드는

당시까지 발견된 기하학과 수론의 모든 지식을 집대성하여 총 13권으로 이루어진 <원론>을 저술했습니다.

• 범위: 제1권부터 제6권까지는 평면기하학, 제7권부터 제9권까지는 정수론, 제10권은 무리수, 제11권부터 제13권까지는 입체기하학을 다루고 있습니다.
• 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 인쇄된 책 중 하나로 꼽힐 만큼 서양 학문 체계의 근간이 되었습니다.

2. <원론>의 시작: 23개의 정의와 공리·공준

유클리드는 수학을 증명하기 위해 아무도 부정할 수 없는 명확한 출발점들을 세웠습니다.

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▶ 23개의 정의 (Definitions): 도형을 다루기 전, 용어의 약속부터 시작합니다.

1. '점'은 넓이가 없는 위치이다.
2. '선'은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 양 끝은 점으로 이루어져 있다.
4. '직선'은 고르게 놓여있는 점 위에 있는 선이다.
5. '면'은 길이와 폭을 갖고 있다.
6. '면'의 끝은 선으로 이루어져 있다.
7. '평면'은 고르게 놓여있는 선 위에 있는 면이다.
8. '평면각'은 면에 있는 두 선의 기울기로 두 선은 만나지만 같은 직선 위에 놓여있지는 않다.
9. 여러 직선이 각을 만들었을 때의 각은 곧은각이라고 불린다.
10. 한 직선 위에 다른 직선이 놓이고, 두 직선 사이에 만들어진 두 각이 서로 같을 시에 두 각은 직각으로 불리며 두 선은 서로 수직이다.
11. 둔각은 직각보다 큰 각이다.
12. 예각은 직각보다 작은 각이다.
13. 경계는 모든 것의 끝이다.
14. 도형은 경계를 갖고 있는 것이다.
15. 원은 한 점으로부터 길이가 같은 직선이 뻗어 나갔을 때 만나는 점들로 둘러싸여 만들어진 평면 도형이다.
16. 처음 기준이 된 점은 원의 중심으로 부른다.
17. 지름이란 원의 둘레에서 원의 중심을 거쳐 원의 둘레로 이어진 직선을 말하며 또한 원을 반으로 나누는 선이다.
18. 반원이란 원을 지름으로 이등분하였을 때의 한쪽으로 반원의 중심은 원의 중심과 같다.
19. 다각형이란 직선들로 둘러싸인 평면 도형으로 삼각형은 세 개의 직선, 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형이다.
20. 삼각형 중 정삼각형은 세 개의 변이 같은 것이고 이등변 삼각형은 두 개의 변이 같은 것이며 부등변 삼각형은 모든 변이 다른 삼각형이다.
21. 또한 직각삼각형은 직각을 갖고 있는 삼각형이며 둔각삼각형은 둔각을 갖고 있는 삼각형이고 예각삼각형은 예각만을 갖고 있는 삼각형이다.
22. 사각형 중 정사각형은 네 변이 모두 같고 직각으로만 이루어져 있는 것이며, 직사각형은 네 각이 모두 직각이지만 네 개의 변이 모두 같지는 않다. 마름모는 네 개의 변이 모두 같지만 직각으로 이루어져 있지 않고, 평행사변형은 마주보는 각과 변은 서로 같지만 네 개의 변과 각이 모두 같지는 않다.
23. 한 평면 위에서 두 직선이 양쪽 어디에서도 만나지 않을 때 평행하다고 하고, 서로 평행한 두 직선을 평행선이라 한다.

​

고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스( Menelaos: 70년 ~ 140년)가 증명한 정리로

삼각형 ABC와 한 직선이 만날 때 성립하는 정리입니다.

​

[정리 내용]

​

삼각형 ABC의 각 변(또는 연장선) AC, BC, AB 위에 있는 점을 각각 E, D, F 이라 하고,

이 세 점 E, D, F이 한 직선 위에 있을 때 다음 식이 성립합니다.

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2. 외우기 쉬운 짱샘의 꿀팁: "꼭-점-점-꼭" 법칙!

공식이 길어서 외우기 힘들어 보이는 학생들이 많죠?

그럴 땐 "꼭짓점 ➔ 교점 ➔ 교점 ➔ 꼭짓점" 순서의 순환 리듬을 기억하면 됩니다!

1. 삼각형의 한 꼭짓점 A에서 출발합니다.
2. 직선과 만나는 교점으로 갔다가, 다음 꼭짓점으로 이동합니다.
3. 이 순서대로 삼각형을 한 바퀴 돌아 제자리(A)로 돌아오면, 분수의 곱이 항상 1이 됩니다.

3. 증명 해 볼까요.

점 A, B, C에서 반직선 FE에 내린 수선의 발을 각각 X, Y, Z 라고 할 때, △FZB ∽△ FXA 이므로

다음이 성립한다.

이와 같이 닮음을 이용한다면, 점B 에서 선분EF에 평행한 직선을 그어 증명해도 된다.

또한 점 Y를 원점으로 보고, 직선CY를 y축으로, 직선EF를 x축으로 보고 닮음을 이용하면 더 쉬울 수 있다.

물론 그건 모두 개개인의 성향 차이이다.

​

또, 이 정리의 역으로

5. 메넬라오스 정리 마스터 연습문제

​

[문제 1] 기본 적용

아래 그림과 같이 삼각형 ABC의 변 AB 위의 점을 P, 변 AC의 연장선 위의 점을 Q라 하자.

직선 PQ가 변 BC의 연장선과 만나는 점을 R이라 할 때, AP = 3, PB = 2, AQ = 4 이다.

점 R이 변 BC의 연장선 위에서 BR : RC = 2 : 1을 만족할 때, QC의 길이 를 구하시오.

[힌트]: 꼭짓점 A에서 출발하여 "꼭-점-점-꼭" 순서(A →E→C→D→B→F→A)로 분수를 세워보세요!

[풀이] 메넬라오스 공식에 따라 점 A에서 출발하여 한 바퀴를 돕니다.

[풀이] 

△DBC와 직선 AF의 메넬라오스 적용하면,

점 A, O, F가 일직선

"꼭 - 점 - 점 - 꼭" 순서로 한바퀴 돌기

중학교, 고등학교에 올라가면서 수학 문제집을 펼치면

학생들을 가장 먼저 당황하게 만드는 것이 있습니다.

바로 알파벳과 낯선 기호들인데요.

"선생님, x, y도 머리 아픈데 알파벳이랑 이상한 기호가 왜 이렇게 많이 나와요?"

학생들이 자주 하는 질문입니다.

​

하지만 기호의 의미와 쓰임새를 알면 수학은 훨씬 명확하고 쉬워집니다!

오늘은 수학에서 가장 많이 쓰이는 그리스 문자 및 라틴 문자 대소문자가 어디에,

어떻게 쓰이는지 완벽하게 정리해 드릴게요.

1. 자주 쓰이는 주요 그리스 문자 대소문자

수학이나 물리학에서 그리스 문자는 변수, 각도, 상수 등을 나타낼 때 필수적으로 사용됩니다.

상담하다 보면 꼭 나오는 질문이 있습니다.

"수학을 어디서 어떻게 시켜야 할지 모르겠어요."

"선생님, 1:1이 좋아요? 강의식이 좋아요?"

하양에서 학부모님들과 학생들이 가장 많이 하시는 고민입니다.

결론부터 말씀드리면, 정답은 없습니다.

아이 성향에 따라 정답이 완전히 달라집니다.

무조건 1:1이 좋다는 것도, 무조건 강의식이 나쁘다는 것도 편견이에요.

​

오늘 그 기준을 명확하게 나눠드릴게요.

이런 고민으로 찾아오시는 경우가 많습니다

• 단체 수업에서는 질문을 못 하고 그냥 넘어간다
• 진도를 못 따라가서 점점 포기하게 된다
• 반대로 너무 느려서 지루해한다
• 숙제는 하는데 이해는 되지 않는다
• 학교 시험이 코앞인데 우리 학교 범위에 맞춰 준비하고 싶다
• 운동이나 예체능 때문에 정해진 시간표를 맞추기 어렵다

이런 경우에는 학생의 현재 위치를 먼저 확인하고 거기서부터 시작하는 수업이 맞습니다.

3. 그래서, 우리 아이는 어디에 속할까? 자가진단 체크

솔직하게 체크해보세요. 3개 이상 해당되는 쪽이 답입니다.

[1:1 체크리스트]

• "모르겠는데..." 라는 말을 잘 못한다.
• 작년에 배운 내용이 가물가물하다.
• 학원 갔다 와도 뭘 배웠는지 설명을 못한다.
• 수학 숙제할 때 옆에서 잡아줘야 시작한다.

[강의식 체크리스트]

• 모르는 건 바로 손들고 질문하는 편이다.
• 숙제나 준비물을 스스로 챙긴다.
• 친구들과 함께하면 더 열심히 한다.
• 시험 기간에 벼락치기보다 꾸준히 하는 편이다.

4. 결론

하양짱샘수학에서는 1:1 강의와 소수그룹수업을 병행 합니다.

1:1에서는 아이의 구멍을 찾고, 자신감을 채웁니다.

소수 그룹에서는 속도와 경쟁력을 붙여줍니다.

수학은 계단입니다.

계단이 무너진 아이에게 "빨리 뛰어!"라고 하는 건 의미가 없어요.

먼저 계단을 보수해야 합니다.

​

지금 우리 아이가 어디쯤 서 있는지 모르겠다면, 레벨테스트보다 중요한 건 '성향 테스트'입니다.

하양에서 1:1과 그룹 수업을 모두 고민 중이시라면 편하게 연락 주세요.

아이 성향에 맞춰 솔직하게 말씀드릴게요.

우리 아이에게 맞는 수업이, 결국 성적이 가장 빨리 오르는 수업이니까요.

혹시 이런 생각을 해본 적 있나요?

"닮음비가 1:2라고 했는데, 왜 넓이는 1:4라고 하지? 그냥 1:2 아닌가?"

중학교 2학년 도형의 닮음 단원에서 학생들이 가장 많이 헷갈리는 부분입니다.

선생님이 "넓이비는 닮음비의 제곱"이라고 알려줘서 외우긴 했는데,

왜 제곱이 되는지는 설명을 못 듣고 넘어가는 경우가 많습니다.

이유를 모르고 외운 공식은 시험에서 조금만 문제가 바뀌어도 흔들리기 쉽습니다.

오늘은 짱샘수학에서 왜 제곱이 되는지 그림으로 이해하고,

기말고사에 자주 나오는 문제까지 풀어보겠습니다.

이 정사각형의 가로와 세로를 모두 2배로 늘리면 한 변의 길이가 2인 정사각형이 됩니다.

이 큰 정사각형 안에는 원래 크기의 정사각형이 가로로 2칸, 세로로 2칸, 모두 4칸이 들어갑니다.

• 닮음비: 1 : 2
• 넓이비: 1 : 4 (2 × 2칸)

길이는 한 방향으로만 2배가 되지만,

넓이는 가로와 세로 두 방향 모두에서 2배가 되기 때문에 2 × 2 = 4배가 되는 것입니다.

닮음비를 k배 하면 넓이는 k²배

이 원리는 정사각형뿐 아니라 모든 닮은 도형에 똑같이 적용됩니다.

• 직사각형: 가로 a, 세로 b → 가로 ka, 세로 kb. 넓이는 ab에서 ka × kb = k²ab가 됩니다.
• 삼각형: 밑변 b, 높이 h → 밑변 kb, 높이 kh. 넓이는 (1/2)bh에서 (1/2)(kb)(kh) = k² × (1/2)bh가 됩니다.

밑변도 k배, 높이도 k배이므로 넓이는 k × k = k²배입니다.

곡선으로 둘러싸인 도형도 아주 작은 정사각형으로 채워서 생각하면 같은 결과가 나옵니다.

헤론의 공식

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하고, 세 변의 합의 절반을 s라 하면 (s를 반둘레라고 부릅니다)

2단계. 코사인법칙으로 cosC를 세 변으로 바꿉니다.

3단계. 인수분해합니다.

중괄호 안은 A² − B² 꼴입니다. (A = 2ab, B = a² + b² − c²)

4단계. s로 바꿔 씁니다.

a + b + c = 2s 이고, 나머지 세 인수는 각각 2(s−c), 2(s−b), 2(s−a)입니다.

이를 대입하면 2 × 2 × 2 × 2 = 16이 분모의 16과 약분되어

양변에 제곱근을 취하면 헤론의 공식이 완성됩니다.

계산이 편해지는 또 다른 표현

위 3단계에서 얻은 식을 그대로 쓰면 반둘레 s를 구하지 않아도 됩니다.

분수가 생기는 s 대신 정수만 다룰 수 있어서, 세 변이 홀수나 큰 수일 때 계산 실수가 줄어듭니다.

예제 1. 세 변이 13, 14, 15인 삼각형의 넓이

풀이

답: 84

위의 다른 표현으로 확인해보면, (a+b+c) = 42, (a+b−c) = 12, (c+a−b) = 14, (c−a+b) = 16이므로

예제 2. 같은 삼각형의 높이와 내접원, 외접원 반지름

예제 1의 삼각형(13, 14, 15)에서 넓이 84를 알고 있으니, 다른 값들을 빠르게 구할 수 있습니다.

• 14인 변에 대한 높이:

헤론의 공식으로 넓이를 구해두면,

지난 글에서 다룬 S = rs, S = abc/4R 공식과 이어서 모든 값을 순서대로 얻을 수 있습니다.

예제 3. 사각형의 넓이에 응용하기

문제: 사각형 ABCD에서 AB = 13, BC = 14, CD = 20, DA = 25이고 대각선 AC = 15일 때,

사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

풀이

대각선 AC로 사각형을 두 삼각형으로 나눕니다.

• 삼각형 ABC: 세 변이 13, 14, 15 → 넓이 84 (예제 1)
• 삼각형 ACD: 세 변이 15, 20, 25 → 15² + 20² = 25²이므로

직각삼각형이고 넓이는 (1/2) × 15 × 20 = 150

사각형의 넓이 = 84 + 150 = 234

​

답: 234

각도 정보가 없는 사각형은 대각선으로 나누어 두 삼각형의 넓이를 더하는 방법으로 풀립니다.

예제 4. 삼각형이 존재할 수 있을까?

문제: 세 변의 길이가 3, 4, 8인 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

마지막 인수 s − 8 = −0.5가 음수이므로 근호 안이 음수가 되어 넓이가 존재하지 않습니다.

실제로 3 + 4 < 8이므로 삼각형의 성립 조건(두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 한다)을 만족하지 못합니다.

헤론의 공식에서 근호 안이 음수로 나온다면 그 길이로는 삼각형을 만들 수 없다는 뜻입니다.