하양짱샘수학이야기

헤론의 공식

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하고, 세 변의 합의 절반을 s라 하면 (s를 반둘레라고 부릅니다)

2단계. 코사인법칙으로 cosC를 세 변으로 바꿉니다.

3단계. 인수분해합니다.

중괄호 안은 A² − B² 꼴입니다. (A = 2ab, B = a² + b² − c²)

4단계. s로 바꿔 씁니다.

a + b + c = 2s 이고, 나머지 세 인수는 각각 2(s−c), 2(s−b), 2(s−a)입니다.

이를 대입하면 2 × 2 × 2 × 2 = 16이 분모의 16과 약분되어

양변에 제곱근을 취하면 헤론의 공식이 완성됩니다.

계산이 편해지는 또 다른 표현

위 3단계에서 얻은 식을 그대로 쓰면 반둘레 s를 구하지 않아도 됩니다.

분수가 생기는 s 대신 정수만 다룰 수 있어서, 세 변이 홀수나 큰 수일 때 계산 실수가 줄어듭니다.

예제 1. 세 변이 13, 14, 15인 삼각형의 넓이

풀이

답: 84

위의 다른 표현으로 확인해보면, (a+b+c) = 42, (a+b−c) = 12, (c+a−b) = 14, (c−a+b) = 16이므로

예제 2. 같은 삼각형의 높이와 내접원, 외접원 반지름

예제 1의 삼각형(13, 14, 15)에서 넓이 84를 알고 있으니, 다른 값들을 빠르게 구할 수 있습니다.

• 14인 변에 대한 높이:

헤론의 공식으로 넓이를 구해두면,

지난 글에서 다룬 S = rs, S = abc/4R 공식과 이어서 모든 값을 순서대로 얻을 수 있습니다.

예제 3. 사각형의 넓이에 응용하기

문제: 사각형 ABCD에서 AB = 13, BC = 14, CD = 20, DA = 25이고 대각선 AC = 15일 때,

사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

풀이

대각선 AC로 사각형을 두 삼각형으로 나눕니다.

• 삼각형 ABC: 세 변이 13, 14, 15 → 넓이 84 (예제 1)
• 삼각형 ACD: 세 변이 15, 20, 25 → 15² + 20² = 25²이므로

직각삼각형이고 넓이는 (1/2) × 15 × 20 = 150

사각형의 넓이 = 84 + 150 = 234

​

답: 234

각도 정보가 없는 사각형은 대각선으로 나누어 두 삼각형의 넓이를 더하는 방법으로 풀립니다.

예제 4. 삼각형이 존재할 수 있을까?

문제: 세 변의 길이가 3, 4, 8인 삼각형의 넓이를 구하시오.

풀이

마지막 인수 s − 8 = −0.5가 음수이므로 근호 안이 음수가 되어 넓이가 존재하지 않습니다.

실제로 3 + 4 < 8이므로 삼각형의 성립 조건(두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 한다)을 만족하지 못합니다.

헤론의 공식에서 근호 안이 음수로 나온다면 그 길이로는 삼각형을 만들 수 없다는 뜻입니다.

1분 자가진단 — 나는 어디에서 틀렸을까

시험지를 옆에 두고 다음 질문에 하나씩 답해보세요.

• 풀이 방법이 아예 떠오르지 않아서 못 푼 문제가 있었나요? (개념)
• 아는 문제인데 계산이나 부호 때문에 틀린 문제가 있었나요? (계산)
• 문제를 다시 읽어보니 다른 것을 구했던 문제가 있었나요? (해석)
• 끝까지 풀지 못하고 시간이 부족했던 문제가 있었나요? (시간)
• 서술형에서 풀이를 어떻게 써야 할지 몰라 비워두거나 감점된 문제가 있었나요? (서술형)

가장 많이 해당되는 항목이 이번 시험의 가장 큰 원인입니다.

마치며

시험 성적은 지금의 실력을 보여주는 하나의 지표일 뿐, 앞으로의 가능성을 결정하지 않습니다.

중요한 것은 이번 결과를 어떻게 읽고, 남은 시간 동안 무엇을 바꾸느냐입니다.

학생들이 이번 중간고사에서 어떤 부분이 아쉬웠는지,

어디서부터 다시 잡으면 좋을지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.

시험지를 함께 보면서 이야기 나누겠습니다.

고등 기하의 공간도형 단원에서 학생들이 가장 많이 막히는 개념을 하나 꼽으라면 단연 정사영입니다.

공식은 S' = S × cosθ 하나뿐인데도,

막상 문제를 풀려면 "이 θ가 도대체 어느 각이지?"에서 멈추는 경우가 대부분입니다.

​

오늘은 짱샘수학에서 정사영을 처음 접하는 학생들도 이해할 수 있도록,

그림자 비유에서 출발해 공식의 원리와 θ를 찾는 방법,

그리고 실전 예제까지 순서대로 정리해드리겠습니다.

2단계. 선분의 정사영 — 길이는 cosθ배가 됩니다

길이가 L인 선분이 평면과 θ의 각을 이루고 있을 때, 이 선분의 정사영 길이는 다음과 같습니다.

정사영의 길이 = L × cosθ

선분과 그 그림자, 그리고 선분 끝에서 평면에 내린 수선이 직각삼각형을 이루기 때문입니다.

이 직각삼각형에서 빗변이 L이고 밑변이 그림자이므로, 그림자의 길이는 L cosθ가 됩니다.

이때 θ는 선분과 평면이 이루는 각입니다.

3단계. 도형의 정사영 — 넓이도 cosθ배가 됩니다

평면 위의 도형(넓이 S)을 다른 평면에 정사영시키면, 그림자의 넓이는 다음과 같습니다.

정사영의 넓이 S' = S × cosθ

여기서 θ는 두 평면이 이루는 각입니다.

선분의 경우와 각이 가리키는 대상이 다르다는 점이 첫 번째 주의사항입니다.

​

왜 넓이도 cosθ배일까요?

두 평면이 만나는 직선(교선)을 x축이라고 하겠습니다.

도형을 두 방향으로 나누어 생각해보면 이유가 보입니다.

• 교선과 평행한 방향: 도형을 눕혀도 그림자의 길이는 그대로입니다. (배율 1)
• 교선과 수직인 방향: 앞의 선분 이야기처럼 길이가 cosθ배로 줄어듭니다. (배율 cosθ)

한 방향은 그대로이고 한 방향만 cosθ배가 되므로, 넓이는 1 × cosθ = cosθ배가 됩니다.

도형의 모양이 무엇이든 마찬가지입니다.

예제 2. 넓이의 정사영 (기본)

문제: 평면 α와 60도의 각을 이루는 평면 위에 넓이가 10인 도형이 있습니다. 이 도형의 α 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

풀이

정사영의 넓이 = 10 × cos60° = 10 × (1/2) = 5

답: 5

핵심 공식

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각

왜 이렇게 될까요? (증명 — 각의 이등분선 공식을 두 번 씁니다)

이 공식은 사실 새로운 내용이 아니라,

각의 이등분선이 대변을 내분하는 성질을 두 번 적용한 것뿐입니다.

​

1단계. 꼭짓점 A에서의 각의 이등분선이 변 BC를 만나는 점 D 구하기

각의 이등분선 성질에 의해, 점 D는 선분 BC를 AB : AC = c : b 로 내분합니다. 내분점 공식을 적용하면:

2단계. 내심 I가 선분 AD를 내분하는 비율 구하기

내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점이므로, I는 선분 AD 위에 있습니다.

이때 AI : ID = (b+c) : a 라는 성질이 성립합니다

(삼각형 ABD에서 각 B의 이등분선이 AD를 만나는 점이 바로 I가 되는 것을 이용해 증명할 수 있습니다).

내분점 공식을 다시 적용하면:

각의 이등분선 공식을 두 번 연달아 쓴 것뿐인데, 깔끔한 가중평균 공식이 완성됩니다.

실전 적용 — 세 단계로 빠르게 풀기

좌표가 주어진 문제를 만나면 다음 세 단계로 진행하면 됩니다.

✔️ 1단계: 세 변의 길이 확인 (거리 공식으로 a, b, c 계산)

✔️ 2단계: 길이비로 가중평균 (I = (aA+bB+cC)/(a+b+c) 대입)

✔️ 3단계: 마지막은 반지름까지 (r = 넓이 ÷ 반둘레)

예제로 확인하기

문제: 좌표평면 위에 A(0,0), B(4,0), C(0,3)인 삼각형이 있습니다.

이 삼각형의 내심의 좌표와 내접원의 반지름을 구하시오.

​

1단계. 세 변의 길이 확인

a = BC = 두 점 B(4,0), C(0,3) 사이의 거리

2단계. 길이비로 가중평균

내심의 좌표: (1,1)

​

3단계. 반지름까지

내접원의 반지름: 1

​

검산해보면, 이 삼각형은 A가 직각인 직각삼각형이고 두 변이 좌표축 위에 놓여 있으므로,

내심은 두 축으로부터 각각 반지름만큼 떨어진 점, 즉 (r, r)에 위치해야 합니다.

구한 반지름이 1이므로 내심 좌표 (1,1)과 정확히 일치합니다.

"지금 배우는 이 단원이 나중에 어디로 이어지나요?"

짱샘수학에 상담 오시는 학부모님들이 정말 많이 물어보시는 질문입니다.

수학은 어느 한 단원만 뚝 떼어놓고 볼 수 없습니다.

초등학교 저학년 때 배운 개념이 실 한 가닥처럼 이어져서 결국 고3 미적분까지 연결되기 때문입니다.

​

오늘은 이 연결 고리, 즉 수학의 계통도를 큰 줄기 다섯 가지로 나누어 정리해드리겠습니다.

지금 학생들이 배우고 있는 단원이 전체 그림에서 어느 위치에 있는지,

그리고 앞으로 어디로 이어지는지 한눈에 확인하실 수 있습니다.

미분 단원에서 극한 문제를 풀다 보면 이런 식을 자주 만나게 됩니다.

핵심 공식

함수 f가 x=a에서 미분가능할 때, 다음이 성립합니다.

극한 안에 있는 두 계수 p, q의 차이만 구해서 f '(a)에 곱하면 끝입니다.

아무리 복잡해 보이는 식이라도, p와 q만 정확히 찾아내면 몇 초 안에 답이 나옵니다.

왜 이렇게 될까요? (증명)

f(a)를 더하고 빼서 식을 둘로 쪼개는 것이 핵심입니다.

첫 번째 항을 살펴보겠습니다.

같은 방식으로 두 번째 항은 q×f '(a)로 수렴합니다.

두 결과를 원래 식에 대입하면:

예제 1. 기본형

문제:

풀이

a=1, p=3, q=−1 이므로 공식에 바로 대입합니다.

예제 2. 분모가 h가 아닐 때

문제:

풀이

분모가 2h이므로, 먼저 1/2을 앞으로 빼내서 분모를 h로 맞춰줍니다.

예제 3. 겉보기에 다른 형태 (합성 형태)

문제:

풀이

이 문제는 h가 아니라 x→2 형태로 나와서 처음엔 공식이 바로 안 보일 수 있습니다.

x=2+h로 치환해보겠습니다.

x→2이면 h→0이고, 3x−4 = 3(2+h)−4 = 2+3h 가 됩니다.

예제 4. 거꾸로 활용하기 — 조건에서 미지수 구하기

문제 :

풀이

공식에 대입하면:

극한값이 주어지고 계수를 거꾸로 찾아야 하는 문제에서도, 공식 하나로 방정식을 세워 바로 풀 수 있습니다.

마치며

오늘 공식의 핵심은 결국 "미분계수의 정의를 정확히 이해하고 있는가"입니다.

먼저, 기본 넓이 공식부터 정리하겠습니다

두 포물선 y=ax², y=bx² (0<a<b)와 수평선 y=h로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽 부분)의 넓이는 다음과 같습니다.

이 공식은 두 포물선이 직선 y=h와 만나는 점의 x좌표를 각각 구하고, 두 부분의 넓이 차이를 적분해서 얻은 결과입니다. 오늘은 이 식을 매번 새로 적분하지 않고, 닮음과 비슷한 원리로 빠르게 재활용하는 두 가지 방법을 소개합니다.

경우 1. 전체 구성을 통째로 확대·축소하는 경우

지난 글에서 증명한 원리는 "도형 전체를 같은 비율(k)로 확대·축소하면 넓이는 k²배가 된다"는 것이었습니다.

이 원리는 경계가 포물선이든 직선이든 상관없이 성립합니다.

두 포물선과 직선을 모두 함께 k배 하면 됩니다.

변환 (x,y) → (kx,ky)를 적용하면,

y=ax²는 y=(a/k)x²로, y=bx²는 y=(b/k)x²로, 직선 y=h는 y=kh로 바뀝니다.

즉 새로운 a, b, h를 모두 정해진 규칙대로 함께 바꾼 경우에만 넓이가 k²배가 됩니다.

​

예제 1

포물선 y=x², y=4x² 와 직선 y=4로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽)의 넓이를 구해보겠습니다.

이제 이 전체 구성을 3배로 확대해보겠습니다.

새 포물선은 y=(1/3)x², y=(4/3)x², 새 직선은 y=12가 됩니다.

지난 글의 원리대로 넓이는 3²=9배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 9 = 24

직접 계산해서 검산해보면:

정확히 일치합니다.

경우 2. 포물선은 그대로 두고, 직선의 높이만 바뀌는 경우

실전에서 훨씬 자주 만나는 상황은 이쪽입니다. 두 포물선 y=ax², y=bx²는 고정되어 있고, 자르는 직선의 높이 h만 다른 값으로 바뀌는 경우입니다. 이때는 지난 글의 원리를 그대로 쓸 수 없습니다. 가로와 세로를 다른 비율로 늘리는 특수한 변환이 필요합니다.

변환 (x,y) → (λx, λ²x) 를 생각해보겠습니다. 포물선 y=ax² 위의 점 (x,y)를 이 변환으로 옮기면 (λx, λ²y)가 되는데, 이 점이 같은 포물선 y=ax² 위에 있는지 확인해보겠습니다.

새로운 y좌표: λ²y = λ²(ax²) 새로운 x좌표의 제곱에 a를 곱한 값: a(λx)² = aλ²x²

두 값이 정확히 같습니다.

즉 이 변환은 포물선 y=ax²를 자기 자신으로 옮깁니다.

포물선의 모양은 그대로 유지된 채, 직선 y=h만 y=λ²h로 옮겨지는 것입니다.

지난 글의 변환이 "도형 전체를 다른 도형으로 옮기는 닮음"이었다면,

이번 변환은 "포물선은 그대로 두고 자르는 위치만 바꾸는 변환"이라는 점에서 성격이 다릅니다.

이 변환에서 넓이가 어떻게 바뀌는지 살펴보면,

x방향으로 λ배, y방향으로 λ²배 늘어나므로 넓이는 두 비율을 곱한 λ³배가 됩니다.

​

예제 2

앞선 예제 1과 같은 포물선 y=x², y=4x² 에서, 직선을 y=4가 아니라 y=16으로 바꾸면 넓이는 어떻게 될까요?

h가 4에서 16으로 바뀌었으므로 λ²=16/4=4, 즉 λ=2입니다. 넓이는 λ³=8배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 8 = 64/3

직접 계산해서 검산해보면:

증명 — 원점을 중심으로 한 확대·축소 변환

원점을 중심으로 x좌표와 y좌표를 동시에 k배 하는 변환을 생각해보겠습니다.

변환 T : (x, y) → (kx, ky)

C₁ 위의 임의의 점 (x₀, y₀)을 이 변환으로 옮겨서, 그 결과가 C₂ 위에 있도록 만드는 k값을 찾아보겠습니다.

점 (x₀,y₀)은 C₁ 위에 있으므로 y₀ = a·x₀² 을 만족합니다. 변환 후의 점 (kx₀, ky₀)이 C₂: y=bx² 위에 있으려면 다음이 성립해야 합니다.

k·y₀ = b·(kx₀)²

우변을 정리하면 b·k²·x₀² 이고, 좌변은 k·a·x₀² (y₀=ax₀²를 대입) 이므로:

k·a·x₀² = b·k²·x₀²

양변에서 x₀²을 나누고 정리하면:

a = b·k

∴ k = a/b

즉, k=a/b로 정하면, C₁ 위의 모든 점이 이 변환을 통해 정확히 C₂ 위의 점으로 옮겨집니다.

x₀는 임의의 값이었으므로, 이 관계는 C₁ 위의 모든 점에서 성립합니다.

변환 T는 원점을 중심으로 x, y를 동일한 비율(k)로 늘리거나 줄이는 닮음변환입니다.

따라서 C₁과 C₂는 닮음이며, 닮음비는 |a/b| 입니다.

이번에는 그래프로 볼까요?

두 포물선

이 다음과 같이 점 A, B, C, D에서 포물선과 만난다.

점 A, B, C, D의 좌표를 구해 보자.

여기서

임을 알 수 있습니다.

∠O는 공통이므로

마치며

포물선이 닮음 도형이라는 사실은 단순한 호기심거리가 아닙니다.

오늘 예제 3처럼, 이미 계산해 둔 결과를 닮음비만으로 다른 포물선에 그대로 적용할 수 있다는 것은 실전에서 매우 강력한 도구가 됩니다. 특히 여러 포물선이 함께 등장하는 문제에서, 매번 처음부터 적분하지 않고 비율 관계로 빠르게 답을 찾아내는 감각을 길러두면 큰 도움이 됩니다.

짱샘수학에서는 이렇게 서로 다른 단원의 개념(닮음과 적분)이 어떻게 연결되는지도 함께 짚어드리며

수업을 진행하고 있습니다.

학생들이 지금 이런 심화 연결 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.