<하양짱샘수학>두 포물선과 직선 사이의 넓이, 닮음으로 풀 수 있을까?

지난 글에서 "꼭짓점이 원점인 두 포물선은 항상 닮음"이라는 사실을 증명하고, 이를 이용해 적분을 다시 하지 않고도 넓이를 구하는 예제를 보여드렸습니다. 오늘은 한 걸음 더 나아가서, 두 포물선과 그 사이를 지나는 직선으로 둘러싸인 넓이에도 이 원리를 적용할 수 있는지 살펴보겠습니다.

결론부터 말씀드리면, 상황을 두 가지로 나눠서 봐야 합니다. 이 둘을 구분하는 감각이 오늘 글의 핵심입니다.

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먼저, 기본 넓이 공식부터 정리하겠습니다

두 포물선 y=ax², y=bx² (0<a<b)와 수평선 y=h로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽 부분)의 넓이는 다음과 같습니다.

이 공식은 두 포물선이 직선 y=h와 만나는 점의 x좌표를 각각 구하고, 두 부분의 넓이 차이를 적분해서 얻은 결과입니다. 오늘은 이 식을 매번 새로 적분하지 않고, 닮음과 비슷한 원리로 빠르게 재활용하는 두 가지 방법을 소개합니다.

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경우 1. 전체 구성을 통째로 확대·축소하는 경우

지난 글에서 증명한 원리는 "도형 전체를 같은 비율(k)로 확대·축소하면 넓이는 k²배가 된다"는 것이었습니다.

이 원리는 경계가 포물선이든 직선이든 상관없이 성립합니다.

두 포물선과 직선을 모두 함께 k배 하면 됩니다.

변환 (x,y) → (kx,ky)를 적용하면,

y=ax²는 y=(a/k)x²로, y=bx²는 y=(b/k)x²로, 직선 y=h는 y=kh로 바뀝니다.

즉 새로운 a, b, h를 모두 정해진 규칙대로 함께 바꾼 경우에만 넓이가 k²배가 됩니다.

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예제 1

포물선 y=x², y=4x² 와 직선 y=4로 둘러싸인 도형(y축 오른쪽)의 넓이를 구해보겠습니다.

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이제 이 전체 구성을 3배로 확대해보겠습니다.

새 포물선은 y=(1/3)x², y=(4/3)x², 새 직선은 y=12가 됩니다.

지난 글의 원리대로 넓이는 3²=9배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 9 = 24

직접 계산해서 검산해보면:

정확히 일치합니다.

a, b, h를 모두 같은 규칙으로 함께 바꿀 때만 이 방법을 쓸 수 있다는 것을 꼭 기억해주세요.

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경우 2. 포물선은 그대로 두고, 직선의 높이만 바뀌는 경우

실전에서 훨씬 자주 만나는 상황은 이쪽입니다. 두 포물선 y=ax², y=bx²는 고정되어 있고, 자르는 직선의 높이 h만 다른 값으로 바뀌는 경우입니다. 이때는 지난 글의 원리를 그대로 쓸 수 없습니다. 가로와 세로를 다른 비율로 늘리는 특수한 변환이 필요합니다.

변환 (x,y) → (λx, λ²x) 를 생각해보겠습니다. 포물선 y=ax² 위의 점 (x,y)를 이 변환으로 옮기면 (λx, λ²y)가 되는데, 이 점이 같은 포물선 y=ax² 위에 있는지 확인해보겠습니다.

새로운 y좌표: λ²y = λ²(ax²) 새로운 x좌표의 제곱에 a를 곱한 값: a(λx)² = aλ²x²

두 값이 정확히 같습니다.

즉 이 변환은 포물선 y=ax²를 자기 자신으로 옮깁니다.

포물선의 모양은 그대로 유지된 채, 직선 y=h만 y=λ²h로 옮겨지는 것입니다.

지난 글의 변환이 "도형 전체를 다른 도형으로 옮기는 닮음"이었다면,

이번 변환은 "포물선은 그대로 두고 자르는 위치만 바꾸는 변환"이라는 점에서 성격이 다릅니다.

이 변환에서 넓이가 어떻게 바뀌는지 살펴보면,

x방향으로 λ배, y방향으로 λ²배 늘어나므로 넓이는 두 비율을 곱한 λ³배가 됩니다.

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예제 2

앞선 예제 1과 같은 포물선 y=x², y=4x² 에서, 직선을 y=4가 아니라 y=16으로 바꾸면 넓이는 어떻게 될까요?

h가 4에서 16으로 바뀌었으므로 λ²=16/4=4, 즉 λ=2입니다. 넓이는 λ³=8배가 되어야 합니다.

새 넓이 = (8/3) × 8 = 64/3

직접 계산해서 검산해보면:

정확히 일치합니다.

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두 경우를 비교하면

구분	경우 1	경우 2
무엇이 바뀌는가	포물선 2개 + 직선 모두	직선의 높이만
사용하는 변환	(x,y)→(kx,ky)	(x,y)→(λx,λ²y)
넓이의 변화	k²배	λ³배
기반 원리	지난 글의 닮음	포물선을 보존하는 특수 변환

실전에서는 이렇게 판단하세요

두 포물선과 직선이 나오는 문제를 보면, 가장 먼저 확인할 것은 "포물선의 계수(a, b)도 함께 바뀌는가, 아니면 직선의 위치만 바뀌는가" 입니다.

• 포물선과 직선이 모두 비례해서 함께 바뀐다면 → 경우 1, k²배
• 포물선은 고정이고 직선의 높이만 바뀐다면 → 경우 2, λ³배

이 판단만 정확히 하면, 두 경우 모두 처음부터 적분식을 세우지 않고도 이미 구해둔 넓이를 비율만으로 빠르게 재활용할 수 있습니다.

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마치며

오늘 다룬 내용은 지난 글의 닮음 원리가

"어디까지 적용되고, 어디서부터는 다른 원리가 필요한지"를 정확히 구분하는 것이 핵심이었습니다.

겉보기에 비슷해 보이는 두 상황이지만,

실제로는 서로 다른 변환과 다른 지수(제곱 vs 세제곱)가 필요하다는 것을 이해하면,

어떤 조건이 주어지든 당황하지 않고 적절한 방법을 선택할 수 있습니다.

짱샘수학에서는 이렇게 비슷해 보이지만 다른 원리가 필요한 상황들을 정확히 구분하는 훈련을 함께 진행하고 있습니다.

학생들이 지금 이런 심화 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.