하양짱샘수학이야기

두 개의 양수 a, b의 최대공약수를 구하는 데에는, 모두들 알고 있는 것처럼, a, b를 소인수분해하면 됩니다.

그러나 이것도 우리가 책상 위에서 종이와 연필만으로 큰 수의 최대공약수를 구하는것은 그리 간단히 되지 않을 수 있습니다. 두 개의 양수 a, b의 최대공약수를 구하는 데에, 좀 더 실질적인 방법은 “유클리드의 호제법" 입니다.

그럼 #유클리드 호제법은 어떤 것인지 알아봅시다.

a ≥ b이고, a를 b로 나눈 몫을 q, 나머지를 r이라 하면.

a=bq+r, 0≤ r <6 입니다. 이 때, 만약 r = 0이라면, 즉 a가 b로 나누어떨어지면, b가 a와 b의 최대공약수입니다.

또, 만약 r >0이면, 위의 식에서 r=a-bq이므로, e를 a, b의 임의의 공약수라 하면, 우변의 a-bq가 e로 나누어떨어지고, 따라서 r이 e로 나누어 떨어집니다.

그러므로 e는 b와 r의 공약수가 됩니다.

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한편, e'를 b, r의 임의의 공약수라 하면, a=bq+r이라는 식에서 e`는 a를 나누어 떨어지게 하고, 따라서 e'는 a, b의 공약수가 됩니다. 이것으로 a와 b의 공약수는 b와 r의 공약수이고, 역으로 b와 r의 공약수는 a와 b의 공약수임을 알 수 있습니다.

따라서 "a, b의 공약수 전체의 집합”은 “b, r의 공약수 전체의 집합” 과 일치합니다. 이것으로부터 특히

(a, b의 최대공약수) = (b, r의 최대공약수)

임을 알 수 있습니다.

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다음에 b를 r로 나눈 나머지를 r₁라 하고, 위에서 설명 한 것과 같은 형태의 이유로, r₁=0이라면 r이 b와 r의 최대공약수가 되고, r₁> 0 이라면

가 됩니다. 이 방법을 나누어 떨어질 때까지 계속하면, 유한번의 나눗셈에 의해서 반드시 a, b의 최대공약수를 구 할 수 있습니다.

이 방법이 유클리드의 호제법입니다. 이것은 옛날부터 알려져 있는 유명한 방법입니다. 유클리드의 “원론" 이라는 책 속에 소개되어 있습니다.

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한 예로서, 247과 962의 최대공약수를 유클리드의 호 제법에 의해 구해 봅시다.

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따라서 247, 962의 최대공약수는 13입니다.

위의 계산을 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

이 계산 방식을 “비(非)자 법"이라고 합니다. 그리고 보니, 한자의 非자와 닮았습니다.

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우리가 일상적으로 사용하는 물건이나 주위에서 볼 수 있는 사물은 그렇게 크지도 않고 또 그렇게 작지도 않은 것들이 대부분입니다.

고층 건물의 높이도 1㎞를 넘지 않습니다. 또, 바늘귀가 아무리 작다고 해도 1㎜정도의 크기이다. 그러나 지

구에서 태양까지의 거리는 약 1.6×10⁸㎞이고, 빛이 진공 속을 1년 동안 진행하는 거리인 1광년은 약 9.46 × 10¹²㎞라 합니다. 반면 작은 세포의 크기는 약 0.1μ(미크론), 곧1.0×10^-7m 정도라 합니다.

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이와 같이 큰 수와 작은 수를 다룰 때에는 지수와 로그를 이용하면 편리합니다.

또한 지수함수를 이용하여 인구의 증가를 나타내기도 하고, 로그함수를 이용하여 화석의 연대를 측정하기도 합니다.

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지수함수란 무엇인가?

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수입니다. 로그 함수의 역함수입니다.

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a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 씁니다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치합니다.

지수함수는 다음의 공리에 의해 정의됩니다.

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a^x 는 R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.

a⁰ = 1

a^p+q = a^pa^q

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함수 에서

a > 1 일때 지수함수의 극한은

, 이고,

0 < a < 1 일때 지수함수의 극한은

, 이다.

그리고 a = 1일때 지수함수의 극한은

, 이다.

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밑이 e인 지수 함수 e^x 의 도함수는 e^x 자신이 됩니다.

e^x 를 exp(x)로 쓰기도 합니다.

임의의 지수함수 a^x 는 자연로그ln 을 사용하여, 로 쓸 수 있습니다.

따라서, 일반적인 지수함수 a^x 의 도함수는 (ln a)a^x = a^x ln a가 됩니다.

exp(x)는 미분방정식 dy/dx = y의 특수해가 됩니다.

이는 반대로 미분방정식 dy/dx = y, y(0)=1 를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미입니다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킵니다.

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음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 의 해를 구할 수 있습니다.

y = a^x 라 하면 다음이 성립합니다.

ln y = ln a^x = x ln a

좌변을 x에 대해 미분하면:

로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

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그렇다면 로그는 무엇인가?

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로그(영어: logarithm, log)는 수학 함수의 일종으로, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타내는 함수입니다.

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이른 17세기에 곱하기 및 나누기의 계산을 간편하게 해내기 위해 존 네이피어가 발명한 것으로 알려져 있죠.

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복잡한 단위의 계산을 간편하게 계산 할 수 있다는 장점 때문에, 로그표 및 계산자 등의 발명품과 함께 세계적으로, 여러 분야의 학자들에게 널리 퍼졌습니다.

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지수에 대비된다는 의미에서 대수(對數)로 부르기도 하나, 대수(代數, Algebra)와 햇갈리기 쉬우므로 로그라는 용어를 사용하는 것이 좋겠습니다.

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a > 0, a ≠ 1이고, y > 0일 때, x, y 사이에 y = a^x 라는 관계가 있으면

“x는 a를 밑으로 하는 y의 로그”라 하고

로 표기합니다.

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예를 들어 3⁴ = 81이므로

입니다.

이 때 a ≠ 1이어야 하는 이유는 1의 거듭제곱은 모두 1이기 때문에, 지수에 어떠한 값이 오더라도 1이 되어 의미가 없어지기 때문입니다. 그리고 위에서의 값의 범위는 모든 실수. 즉, 실수를 로그를 통해 나타낼 수가 있는 것입니다.

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위의 정의에 따르면, 로그를 정의하기 위하여 지수함수가 필요합니다. 하지만 지수함수를 명확히 정의하는 데에는 어려움이 따릅니다. 따라서 오일러는 적분을 이용하여 로그를 정의하고, 이의 역함수를 지수함수라고 정의하였습니다.

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다항함수의 적분에 대해서 다음과 같은 사실이 잘 알려져 있습니다.

이 때, n = -1인 경우, 즉

의 경우에는 답이 알려져 있지 않았습니다. 오일러는 로그함수를 다음과 같이 정의했습니다.

이제 이 함수의 역함수를 생각해보겠습니다. 역함수의 미분의 법칙에 의해서 다음이 성립합니다.

따라서 이 함수의 역함수의 미분은 다음과 같습니다.

그러므로 이 함수를 미분하면 항상 같은 함수가 됩니다. 이를 우리는 다음과 같은 함수로 정의할 수 있습니다.

이를 지수함수라 칭하고, 여기에서 정의되는 상수 를 자연상수라 합니다. 또한 우리는 일반적인 밑을 가진 지수함수를 정의할 수도 있습니다.

이와 같이 적분을 이용해 로그와 지수함수를 정의할 수 있습니다.

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로그 함수는 다음과 같은 특징을 가집니다.

이러한 특징을 이용해, 복잡한 곱셈 문제를 단순한 덧셈 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다.

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