다항식과 분수식을 통틀어서 유리식이라 하는데 유리식 중에서 분모에 문자가 있는 경우를 분수식이라 합니다.
유리식과 유리함수 단원에서는 주로 분수식을 다루게 되는데 유리식에 여러 가지 내용들이 나오게 됩니다.
분리형, 결합형, 부분분수, 비례식, 가비의 리 등등등...
그 중에서 부분분수에 대해서 알아보겠습니다.
부분분수란 하나의 분수를 두 개 이상의 분수의 합으로 나타내는 것을 말하는데, 교과서와 모든 수학 교재를 보면 다음과 같은 식이 유리식 부분분수 단원에서 나오게 됩니다.
왜 간단한 식을 저렇게 복잡한 식으로 바꾸는것일까요?
하지만 간단한 예제 하나만 풀어보더라도 왜 그래야 하는지 쉽게 이해가 갈 것입니다.
또한 수열의 합 단원에서도 중요하게 쓰일 예정이니 꼭!꼭!꼭! 잘 알아두어야 합니다.
먼저 위 식을 증명해 보도록 하겠습니다.
다음과 같은 분수식이 있다고 해볼까요.
이제 이 식을 두 개의 분수의 합으로 나타내면 다음과 같이 되겠죠?
이 식이 성립한다면 우변의 식을 통분해서 계산하면 좌변의 식이 나와야 합니다.
여기서 특수한 b=-a인 상황을 생각해 봅시다.
즉, 하나의 분수를 분자의 절댓값은 같고 부호가 반대가 되는 두 분수의 합으로 나타내는 경우입니다.
이와 같이 되므로 결론은
이 되는 것입니다.
그럼 분자가 1이 아닌 경우를 생각해 봅시다.
가 됩니다.
이제 이 식을 어떻게 활용하는지 간단히 알아보도록 하겠습니다.
의 값을 구하는 문제를 생각해볼까요.
물론 모두 60으로 통분하여 계산하면 간단하다.
그런데 만일 저러한 식이 연속으로 계속 더해져서 항이 100개정도 되는 분수의 합이라면 과연 통분으로 제한된 시간 내에 해결할 수 있을까?
위의 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
이웃한 항끼리 자연스럽게 소거가 됩니다.
부분분수는 이와 같이 분모가 두 식, 또는 두 수의 곱으로 되어있는 분수를 두 개의 분수의 합으로 바꾸면서 복잡한 계산을 간단히 만들어주는 역할을 합니다.