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의의 실수 a, b, x, y 에 대하여 부등식

$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge \left(ax+by\right)^2$(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2​

이 항상 성립한다. 이 부등식은 코시(Cauchy, A. L. ; 1789 ~ 1857)에 의해 제시되고 슈바르츠(Schwarz, H. A. ; 1843 ~ 1921)에 의해 더욱 발전되었기에, 그들의 이름을 따서 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.

​

가장 기본적이면서도 매우 강력한 부등식으로, 다양하게 일반화되고 있으며 선형대수학, 해석학, 확률론 등 여러 수학 분야에서 사용된다.

​

산술평균-기하평균 부등식은 양수의 범위에서만 사용할 수 있는 데 비해, 코시-슈바르츠 부등식은 실수, 복소수, 벡터 등 더 넓은 범위에서 성립한다.

​

임의의 실수 a, b, x, y 에 대하여 부등식

$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge \left(ax+by\right)^2$(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2​

이 성립한다. 단, 등호는

$ay-bx=0$ay−bx=0​

일 때 성립한다.

​

임의의 실수 에 대하여

$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2$(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2​
$=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-\left(a^2x^2+2abxy+b^2y^2\right)$=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2−(a2x2+2abxy+b2y2)​
$=a^2y^2-2abxy+b^2x^2$=a2y2−2abxy+b2x2​
$=\left(ay-bx\right)^2\ge 0$=(ay−bx)2≥0​

이므로

$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge \left(ax+by\right)^2$(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2​

이 성립한다.단, 등호는

$ay-bx=0$ay−bx=0​

일 때 성립한다.

​

코시-슈바르츠 부등식의 기하학적 증명

앞서 나온 대수적인 증명은 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 때 널리 사용된다.

이와 다르게 로저 넬슨(Nelson, R. B.)은 도형을 이용하여 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 직관적으로 보여주는 기하적 증명 방법(geometric proof)을 제시하였다.

 

(a) (b)

(a)의 하얀색 평행사변형은 변의 길이가 각각

$\sqrt{a^2+b^2},\ \sqrt{x^2+y^2}\ $√a2+b2, √x2+y2 ​

인 직각삼각형으로 둘러싸여 있다.

네 직각삼각형과 하얀색 평행사변형으로 이루어진 큰 직사각형은, 가로와 세로의 길이는 각각

$\left|\combi{a}\right|+\left|y\right|,\ \ \left|\combi{b}\right|+\left|x\right|$|a|+|y|,  |b|+|x|​

이므로 큰 직사각형의 넓이는

$S=\left(\left|\combi{a}\right|+\left|y\right|\right)\left(\ \left|\combi{b}\right|+\left|x\right|\right)$S=(|a|+|y|)( |b|+|x|)​

이다. 이때 (a)의 넓이는 (b)의 넓이 보다 항상 작거나 같다.

∵ 4개의 직사각형의 넓이는 (a)일때와 (b)일때 변함이 없지만 (a)의 평행사각형의 넓이는 (b)의 직사각형의 넓이 보다 작거나 같다.

(a)의 평행사각형의 넓이는

$\sqrt{a^2+b^2}\ \sqrt{x^2+y^2}\sin \theta $√a2+b2 √x2+y2sinθ​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sin \theta \le 1$              sinθ≤1​

(b)의 직사각형의 넓이는

$\sqrt{a^2+b^2}\ \sqrt{x^2+y^2}$√a2+b2 √x2+y2​

이다.

(a)와 (b)의 넓이를 비교하면

$\left(\left|\combi{a}\right|+\left|y\right|\right)\left(\ \left|\combi{b}\right|+\left|x\right|\right)\le 2\left(\combi{\frac{1}{2}\left|\combi{a}\right|\left|\combi{b}\right|+\frac{1}{2}\left|\combi{x}\right|\left|\combi{y}\right|}\right)+\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$(|a|+|y|)( |b|+|x|)≤2(12​|a||b|+12​|x||y|)+√a2+b2√x2+y2​
$\left|\combi{a}\right|\left|\combi{x}\right|+\left|b\right|\left|y\right|\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$|a||x|+|b||y|≤√a2+b2√x2+y2​

삼각부등식에 의하여

$\left|\combi{ax+by}\right|\le \left|\combi{a}\right|\left|\combi{x}\right|+\left|\combi{b}\right|\left|\combi{y}\right|$|ax+by|≤|a||x|+|b||y|​

이 성립하므로

$\left|\combi{ax+by}\right|\le \left|\combi{a}\right|\left|\combi{x}\right|+\left|\combi{b}\right|\left|\combi{y}\right|\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$|ax+by|≤|a||x|+|b||y|≤√a2+b2√x2+y2​

가 성립한다.

 

 

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임의의 양의 실수 x1, x2,…,xk 에, 대하여

$\frac{k}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_k}}\le \sqrt[k]{x_1x_2\cdot \cdot \cdot x_k}\le \frac{x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_k}{k}$k1x1​​+1x2​​+···+1xk​​​≤k√x1​x2​···xk​≤x1​+x2​+···+xk​k​​

이 성립한다.

​

임의의 양의 실수 a, b에 대하여, 실수의 제곱의 성질에 의하여,

가 성립한다.

$\left(\combi{a+b}\right)^2-4ab=\left(\combi{a-b}\right)^2\ge 0$(a+b)2−4ab=(a−b)2≥0​
$\left(\combi{a+b}\right)^2\ \ge \ 4ab$(a+b)2 ≥ 4ab​
$a+b\ge \sqrt[2]{ab}$a+b≥√ab​

ex) 양수 a, b에 대하여 ab=16이다. a+b의 최솟값을 구하여라.

sol) 산술평균과 기하평균에 의하여

$$​
$a+b\ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2√ab​
$\therefore a+b\ge 8$∴a+b≥8​

이다. 따라서 a+b의 최솟값은 8이다.

 

임의의 양의 실수 x1, x2,…,xk 에, 대하여

$\frac{k}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_k}}\le \sqrt[k]{x_1x_2\cdot \cdot \cdot x_k}\le \frac{x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_k}{k}$k1x1​​+1x2​​+···+1xk​​​≤k√x1​x2​···xk​≤x1​+x2​+···+xk​k​​

 

이 성립한다.

​

임의의 양의 실수 a, b에 대하여, 실수의 제곱의 성질에 의하여,

가 성립한다.

$\left(\combi{a+b}\right)^2-4ab=\left(\combi{a-b}\right)^2\ge 0$(a+b)2−4ab=(a−b)2≥0​
$\left(\combi{a+b}\right)^2\ \ge \ 4ab$(a+b)2 ≥ 4ab​
$a+b\ge \sqrt[2]{ab}$a+b≥√ab​

ex) 양수 a, b에 대하여 ab=16이다. a+b의 최솟값을 구하여라.

sol) 산술평균과 기하평균에 의하여

$$​
$a+b\ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2√ab​
$\therefore a+b\ge 8$∴a+b≥8​

이다. 따라서 a+b의 최솟값은 8이다.

 

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주어진 집합의 임의의 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 합니다.

​

실수의 집합에서 성립하는 절대부등식

a, b가 실수일 때,

$①\ a>b\ ⟺\ a−b>0$① a>b ⟺ a−b>0​

$②\ a^2\ge 0$② a2≥0​

$③\ a^2+b^2\ge 0$③ a2+b2≥0​

$④\ a^2+b^2=0\ ⟺\ a=b=0$④ a2+b2=0 ⟺ a=b=0​

$⑤\ |a|^2=a^2,\ |a||b|=|ab|,\ |a|\ge a$⑤ |a|2=a2, |a||b|=|ab|, |a|≥a​

$⑥\ a>0,b>0일때,\ a>b\ ⟺\ a^2>b^2$⑥ a>0,b>0일때, a>b ⟺ a2>b2​

실수의 제곱

임의의 실수 x에 대하여

$x^2\ge 0$x2≥0​

이 성립한다. 이때, 등호는 x=0일 때만 성립합니다.

일반적으로 n개의 실수 x1, x2, …, xn에 대하여

$x_1^2+x_2^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2\ge 0$x21​+x22​+···+x2n​≥0​

이 성립합니다. 등호는 x1= x2= …= xn=0 일 때 성립합니다.

​

위의 방법을 이용하여 완전 제곱식을 만들어 이용하면 실수 전체의 집합에서 다음의 절대 부등식을 얻을 수 있습니다.

​

a, b, c가 실수 일때

$①\ a^2+ab+b^2\ge 0$① a2+ab+b2≥0​

$②\ \ a^2-ab+b^2\ge 0$②  a2−ab+b2≥0​

(단, 등호는 a = b = 0일 때 성립)

$③\ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$③ a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0​

(단, 등호는 a = b = c 일 때 성립)

$⑤\ |a|+|b|=|a+b|$⑤ |a|+|b|=|a+b|​

$⑥\ |a−b|\ge |a|−|b|$⑥ |a−b|≥|a|−|b|​

(단, 등호는 ab ≥ 0 일 때 성립)

 

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