<하양짱샘수학과외>절대부등식 - 산술평균 - 기하평균 - 조화평균

임의의 양의 실수 x₁, x₂,…,x_k 에, 대하여

$\frac{k}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_k}}\le \sqrt[k]{x_1x_2\cdot \cdot \cdot x_k}\le \frac{x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_k}{k}$k1x1​​+1x2​​+···+1xk​​​≤k√x1​x2​···xk​≤x1​+x2​+···+xk​k​​

이 성립한다.

​

임의의 양의 실수 a, b에 대하여, 실수의 제곱의 성질에 의하여,

가 성립한다.

$\left(\combi{a+b}\right)^2-4ab=\left(\combi{a-b}\right)^2\ge 0$(a+b)2−4ab=(a−b)2≥0​

$\left(\combi{a+b}\right)^2\ \ge \ 4ab$(a+b)2 ≥ 4ab​

$a+b\ge \sqrt[2]{ab}$a+b≥√ab​

ex) 양수 a, b에 대하여 ab=16이다. a+b의 최솟값을 구하여라.

sol) 산술평균과 기하평균에 의하여

$$​

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2√ab​

$\therefore a+b\ge 8$∴a+b≥8​

이다. 따라서 a+b의 최솟값은 8이다.

 

임의의 양의 실수 x₁, x₂,…,x_k 에, 대하여

$\frac{k}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_k}}\le \sqrt[k]{x_1x_2\cdot \cdot \cdot x_k}\le \frac{x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_k}{k}$k1x1​​+1x2​​+···+1xk​​​≤k√x1​x2​···xk​≤x1​+x2​+···+xk​k​​

 

이 성립한다.

​

임의의 양의 실수 a, b에 대하여, 실수의 제곱의 성질에 의하여,

가 성립한다.

$\left(\combi{a+b}\right)^2-4ab=\left(\combi{a-b}\right)^2\ge 0$(a+b)2−4ab=(a−b)2≥0​

$\left(\combi{a+b}\right)^2\ \ge \ 4ab$(a+b)2 ≥ 4ab​

$a+b\ge \sqrt[2]{ab}$a+b≥√ab​

ex) 양수 a, b에 대하여 ab=16이다. a+b의 최솟값을 구하여라.

sol) 산술평균과 기하평균에 의하여

$$​

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2√ab​

$\therefore a+b\ge 8$∴a+b≥8​

이다. 따라서 a+b의 최솟값은 8이다.