<하양짱샘수학과외>절대부등식

주어진 집합의 임의의 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 합니다.

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실수의 집합에서 성립하는 절대부등식

a, b가 실수일 때,

$①\ a>b\ ⟺\ a−b>0$① a>b ⟺ a−b>0​

$②\ a^2\ge 0$② a2≥0​

$③\ a^2+b^2\ge 0$③ a2+b2≥0​

$④\ a^2+b^2=0\ ⟺\ a=b=0$④ a2+b2=0 ⟺ a=b=0​

$⑤\ |a|^2=a^2,\ |a||b|=|ab|,\ |a|\ge a$⑤ |a|2=a2, |a||b|=|ab|, |a|≥a​

$⑥\ a>0,b>0일때,\ a>b\ ⟺\ a^2>b^2$⑥ a>0,b>0일때, a>b ⟺ a2>b2​

실수의 제곱

임의의 실수 x에 대하여

$x^2\ge 0$x2≥0​

이 성립한다. 이때, 등호는 x=0일 때만 성립합니다.

일반적으로 n개의 실수 x1, x2, …, xn에 대하여

$x_1^2+x_2^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2\ge 0$x21​+x22​+···+x2n​≥0​

이 성립합니다. 등호는 x1= x2= …= xn=0 일 때 성립합니다.

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위의 방법을 이용하여 완전 제곱식을 만들어 이용하면 실수 전체의 집합에서 다음의 절대 부등식을 얻을 수 있습니다.

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a, b, c가 실수 일때

$①\ a^2+ab+b^2\ge 0$① a2+ab+b2≥0​

$②\ \ a^2-ab+b^2\ge 0$②  a2−ab+b2≥0​

(단, 등호는 a = b = 0일 때 성립)

$③\ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$③ a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0​

(단, 등호는 a = b = c 일 때 성립)

$⑤\ |a|+|b|=|a+b|$⑤ |a|+|b|=|a+b|​

$⑥\ |a−b|\ge |a|−|b|$⑥ |a−b|≥|a|−|b|​

(단, 등호는 ab ≥ 0 일 때 성립)