<하양짱샘수학>삼차함수의 극댓값과 극솟값의 합, 공식으로 한 번에 구하기

 

삼차함수의 극댓값과 극솟값을 각각 구한 뒤 더하는 문제, 다들 한 번쯤 풀어보셨을 겁니다.

그런데 사실 두 극값을 따로 계산할 필요 없이,

변곡점의 함숫값 하나만 알면 곧바로 그 합을 구할 수 있는 공식이 있습니다.

오늘은 이 공식이 어떻게 나오는지 증명부터,

실제 문제에 적용하는 방법까지 짱샘수학에서 정리해드리겠습니다.

 

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핵심 공식

삼차함수 f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)가 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 이 두 값의 합은 다음과 같습니다.

극댓값 + 극솟값 = 2 × f(변곡점의 x좌표)

변곡점의 x좌표는 이미 알고 계신 것처럼 -b/(3a) 이므로, 이 값을 f(x)에 대입해서 2배 하면 끝입니다.

극점의 x좌표를 따로 구하지 않아도 된다는 것이 이 공식의 핵심입니다.

 

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왜 이렇게 될까요? (증명)

변곡점의 x좌표를 x₀ = -b/(3a) 라고 하고, x = x₀+u 로 치환해서 f(x)를 다시 써보겠습니다.

이 식을 전개하면 다음과 같이 정리됩니다.

 

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여기서 u²의 계수가 등장하지 않는다는 점이 중요합니다.

u²의 계수는 3a·x₀+b 인데, x₀=-b/(3a)를 대입하면

3a×(-b/3a)+b = -b+b = 0이 되어 정확히 사라지기 때문입니다. 이

것이 바로 x₀가 변곡점이 되는 이유이기도 합니다.

이제 f(x₀+u)에서 f(x₀)를 빼면:

​우변은 u에 대한 홀함수입니다(u를 −u로 바꾸면 전체 부호가 반대로 바뀝니다).

극점은 f '(x)=0이 되는 지점이므로, u=±h (h는 양수) 위치에서 극값을 갖는다고 하면:

​두 식을 더하면 우변이 정확히 상쇄되어 0이 됩니다.

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따라서:

​좌변이 바로 극댓값과 극솟값의 합입니다.

두 극점이 변곡점을 중심으로 정확히 대칭인 위치(x₀−h, x₀+h)에 있기 때문에,

두 함숫값의 합이 변곡점 함숫값의 2배로 정리되는 것입니다.

 

좀 다르게 볼까요?

삼차함수 그래프의 대칭성과 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선의 성질을 이용하는것입니다.

1.모든 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 대칭이다.

2. 삼차함수 그래프의 두 극점을 연결한 선분은 변곡점을 지난다.

3. 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점은 변곡점이다.

삼차함수의 그래프는 변곡점에 대해 대칭이므로,

두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점은 변곡점이 되어야 합니다.

변곡점의 좌표를

​두 극점의 좌표를

$\left(\alpha ,\ f\left(\alpha \right)\right),\ \left(\beta ,\ f\left(\beta \right)\right)$(α, f(α)), (β, f(β))​

라 하면, 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점의 좌표는

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예제 1. 기본 공식으로 바로 계산하기

문제: f(x) = x³−3x 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=1, b=0 이므로 변곡점의 x좌표는 x₀ = 0 입니다.

f(0) = 0

극댓값+극솟값 = 2×f(0) = 0

직접 검산해보면, f '(x)=3x²−3=0에서 극점은 x=−1, 1이고 f(−1)=2, f(1)=−2로 합이 0이 되어

공식과 정확히 일치합니다.

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예제 2. 극점을 구하지 않고 계수가 있는 함수에 적용하기

문제: f(x) = x³−6x²+9x+1 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=1, b=−6 이므로 x₀ = −(−6)/(3×1) = 2

f(2) = 8−24+18+1 = 3

극댓값+극솟값 = 2×3 = 6

f '(x)=0의 근을 구해서 두 극값을 각각 계산하는 대신, 변곡점 하나만 대입해서 끝냈습니다.

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예제 3. 계수가 여러 개인 경우

문제: f(x) = 2x³+3x²−12x+5 의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

풀이

a=2, b=3 이므로 x₀ = −3/(3×2) = −1/2

f(−1/2) = 2×(−1/8) + 3×(1/4) − 12×(−1/2) + 5 = −1/4 + 3/4 + 6 + 5 = 11.5

극댓값+극솟값 = 2×11.5 = 23

답: 23

검산해보면 f '(x)=6x²+6x−12=6(x+2)(x−1)에서 극점은 x=−2, 1이고,

f(−2)=25, f(1)=−2로 합이 정확히 23이 됩니다.

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예제 4. 거꾸로 활용하기 — 조건에서 미지수 구하기

문제: f(x) = x³−3x²+k 의 극댓값과 극솟값의 합이 8일 때, 상수 k의 값을 구하시오.

풀이

a=1, b=−3 이므로 x₀ = −(−3)/(3×1) = 1

f(1) = 1−3+k = k−2

극댓값+극솟값 = 2×(k−2) = 2k−4

문제에서 이 값이 8이라고 했으므로:

2k−4 = 8

2k = 12

k = 6

이렇게 극값을 직접 구하지 않고도,

합에 대한 조건만으로 미지수를 바로 찾아낼 수 있습니다.

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오늘 배운 내용 정리

문제 유형	필요한 계산	핵심 포인트
예제 1, 2	변곡점 x좌표 → 함숫값 → 2배	극점을 따로 구할 필요 없음
예제 3	계수가 많아도 동일한 절차	a, b만 정확히 대입
예제 4	공식을 거꾸로 활용	합 조건 → 미지수 역산

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마치며

이 공식의 핵심은 결국 "삼차함수는 변곡점을 중심으로 점대칭"이라는 사실 하나입니다.

두 극점이 변곡점으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있고 대칭이기 때문에,

두 함숫값의 합이 변곡점 함숫값의 2배로 정리되는 것입니다.

공식을 단순히 암기하기보다 이 대칭 구조를 이해하고 나면,

극값의 차를 구하는 공식이나 다른 삼차함수 성질들과도 자연스럽게 연결해서 이해할 수 있습니다.

짱샘수학에서는 이런 공식을 다룰 때도 결과만 전달하지 않고,

치환과 대칭성을 이용한 증명 과정을 함께 짚어드리고 있습니다.

학생들이 지금 이런 삼차함수 심화 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면

편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.