<하양짱샘수학>원점을 꼭짓점으로 하는 두 포물선은 항상 닮음

원이 하나같이 다 닮음 도형이라는 것은 잘 알려져 있습니다.

반지름이 달라도 확대·축소하면 완전히 겹쳐지기 때문입니다.

그런데 사실 포물선도 마찬가지라는 것, 알고 계셨나요?

꼭짓점이 원점이고 축이 y축인 포물선은, 폭이 얼마나 좁든 넓든 상관없이 모두 서로 닮음입니다.

오늘은 짱샘수학에서 이 사실을 직접 증명해보고, 실전 문제에서 어떻게 활용하는지까지 정리해드리겠습니다.

특히 마지막 예제는 지난 "이차함수와 두 접선 사이의 넓이(1/12 공식)" 글과 연결되니, 함께 보시면 더 재미있으실 거예요.

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무엇을 증명해야 할까요?

두 포물선 C₁: y=ax², C₂: y=bx² (a, b는 0이 아닌 상수)가 있다고 하겠습니다.

이 둘이 닮음이라는 것을 보이려면, 한 도형을 확대 또는 축소해서 다른 도형과 완전히 겹치게 만드는 변환이 존재한다는 것을 보이면 됩니다.

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증명 — 원점을 중심으로 한 확대·축소 변환

원점을 중심으로 x좌표와 y좌표를 동시에 k배 하는 변환을 생각해보겠습니다.

변환 T : (x, y) → (kx, ky)

C₁ 위의 임의의 점 (x₀, y₀)을 이 변환으로 옮겨서, 그 결과가 C₂ 위에 있도록 만드는 k값을 찾아보겠습니다.

점 (x₀,y₀)은 C₁ 위에 있으므로 y₀ = a·x₀² 을 만족합니다. 변환 후의 점 (kx₀, ky₀)이 C₂: y=bx² 위에 있으려면 다음이 성립해야 합니다.

k·y₀ = b·(kx₀)²

우변을 정리하면 b·k²·x₀² 이고, 좌변은 k·a·x₀² (y₀=ax₀²를 대입) 이므로:

k·a·x₀² = b·k²·x₀²

양변에서 x₀²을 나누고 정리하면:

a = b·k

∴ k = a/b

즉, k=a/b로 정하면, C₁ 위의 모든 점이 이 변환을 통해 정확히 C₂ 위의 점으로 옮겨집니다.

x₀는 임의의 값이었으므로, 이 관계는 C₁ 위의 모든 점에서 성립합니다.

변환 T는 원점을 중심으로 x, y를 동일한 비율(k)로 늘리거나 줄이는 닮음변환입니다.

따라서 C₁과 C₂는 닮음이며, 닮음비는 |a/b| 입니다.

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이번에는 그래프로 볼까요?

두 포물선

이 다음과 같이 점 A, B, C, D에서 포물선과 만난다.

점 A, B, C, D의 좌표를 구해 보자.

여기서

임을 알 수 있습니다.

∠O는 공통이므로

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예제 1. 두 포물선의 닮음비 구하기

문제: 포물선 y=2x² 와 y=8x² 의 닮음비를 구하시오.

풀이

a=2, b=8 이므로, C₁(y=2x²)을 C₂(y=8x²)로 옮기는 닮음비는:

k = a/b = 2/8 = 1/4

답: 1:4

y=2x²를 원점 중심으로 1/4배 축소하면 y=8x²와 완전히 겹쳐집니다.

반대로 y=8x²를 4배 확대하면 y=2x²가 됩니다.

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예제 2. 대응하는 점 사이의 거리 비율

문제: 포물선 y=x² 위의 점 A(2,4)에 대응하는 점 B가 포물선 y=3x² 위에 있습니다.

원점에서 A까지의 거리와 원점에서 B까지의 거리의 비(OB : OA)를 구하시오.

풀이

a=1, b=3 이므로 닮음비 k = 1/3 입니다.

대응점 B는 A의 좌표를 k배 한 위치에 있습니다.

B = (2×(1/3), 4×(1/3)) = (2/3, 4/3)

확인해보면 3×(2/3)² = 3×4/9 = 4/3 으로, 실제로 y=3x² 위에 있는 것이 맞습니다.

닮음변환에서 원점으로부터의 거리는 항상 닮음비만큼 그대로 늘어나거나 줄어듭니다.

따라서 좌표를 직접 계산하지 않아도:

OB : OA = k : 1 = 1 : 3

답: 1:3

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예제 3. 넓이 비율로 빠르게 계산하기 (지난 1/12 공식과 연결)

문제: 포물선 y=x² 위의 두 점 P(0,0), Q(4,16)에서 각각 접선을 그어 만든 도형의 넓이가 16/3이라는 것을 지난 글에서 확인했습니다. 이번에는 포물선을 y=9x²로 바꾸고, 대응하는 두 점에서 접선을 그었을 때 만들어지는 넓이를 구하시오.

풀이

닮은 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱이라는 사실을 이용하면 적분을 다시 할 필요가 없습니다.

y=x²(a=1)에서 y=9x²(b=9)로 가는 닮음비는 k = 1/9 입니다.

넓이비 = k² = (1/9)² = 1/81

원래 넓이가 16/3 이었으므로:

새로운 넓이 = (16/3) × (1/81) = 16/243

답: 16/243

직접 검산해보면

대응점은 P'(0,0), Q'(4×1/9, 16×1/9) = (4/9, 16/9) 이고, 지난 글의 1/12 공식(넓이 = |b|÷12 × (q−p)³)에 그대로 대입하면:

넓이 = (9÷12) × (4/9)³ = (3/4) × (64/729) = 192/2916 = 16/243

닮음비의 제곱을 이용한 결과와 정확히 일치합니다.

적분 공식을 처음부터 다시 계산하지 않고도, 닮음비만으로 답을 구할 수 있다는 것이 오늘 증명한 성질의 힘입니다.

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오늘 배운 내용 정리

구분	내용
핵심 정리	꼭짓점이 원점, 축이 y축인 두 포물선은 항상 닮음
닮음비	k = a/b (y=ax² → y=bx²)
거리 비율	대응점까지의 거리비 = 닮음비
넓이 비율	대응 도형의 넓이비 = 닮음비의 제곱

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마치며

포물선이 닮음 도형이라는 사실은 단순한 호기심거리가 아닙니다.

오늘 예제 3처럼, 이미 계산해 둔 결과를 닮음비만으로 다른 포물선에 그대로 적용할 수 있다는 것은 실전에서 매우 강력한 도구가 됩니다. 특히 여러 포물선이 함께 등장하는 문제에서, 매번 처음부터 적분하지 않고 비율 관계로 빠르게 답을 찾아내는 감각을 길러두면 큰 도움이 됩니다.

짱샘수학에서는 이렇게 서로 다른 단원의 개념(닮음과 적분)이 어떻게 연결되는지도 함께 짚어드리며

수업을 진행하고 있습니다.

학생들이 지금 이런 심화 연결 개념을 배울 준비가 되어 있는지 궁금하시다면 편하게 상담 문의 주시기 바랍니다.