<하양짱샘수학>삼각형의 넓이구하기 ② 헤론의공식

삼각형의 세변의 길이를 알때 헤론의 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

$A=\sqrt{\left(s\left(s-a\right)\left(s-b\right)s-c\right)}$A=√(s(s−a)(s−b)s−c)​

$여기서,\ s=\frac{a+b+c}{2}$여기서, s=a+b+c2​​

s를 대입하여 A를 표현하면,

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$A=14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​

$A=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(\combi{a}^2\combi{b}^2+\combi{a}^2c^2+b^2c^2\right)-\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√2(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)​

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2-2\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)​

$A=\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{\combi{b}^2\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2}$A=14​√4a2b2(a2+b2+c2)2​

$$​

이 된다.

​

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

삼각함수를 이용한 증명

$A=\frac{1}{2}ab\sin C\ ...\left(1\right)$A=12​absinC ...(1)​

에서 코사인 법칙을 이용하면,

 

$\combi{c}^2=\combi{a}^2+\combi{b}^2-2ab\cos C$c2=a2+b2−2abcosC​

$\cos C=\frac{\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2}{2ab}$cosC=a2+b2−c22ab​​

$\sin ^2C+\cos ^2C=1$sin2C+cos2C=1​

$\sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}$sinC=√1−cos2C​

$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}{4\combi{a}^2\combi{b}^2}}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)24a2b2​​

$$​

$\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​

(1)식에 대입하여 정리하면,

$A=\frac{1}{2}ab\times \frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$A=12​ab×√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√4a2b2−(a2+b2−c2)2​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(2ab\right)}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√22−(a2+b2−c2)2​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab-\combi{a}^2-\combi{b}^2+\combi{c}^2\right)\combi{\left(2ab+\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(2ab−a2−b2+c2)2​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\combi{c}^2-\left(a-b\right)^2\right)\combi{\left(\left(a+b\right)^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(c2−(a−b)2)((a+b)2−c2)​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(c-a+b\right)\left(c+a+b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}$  =14​√(c−a+b)(c+a+b)(a+b−c)(a+b+c)​

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$  =14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​

피타고라스의 정리를 이용한 증명

$\righttriangle AHC에서\ \combi{b}^2=\left(a-x\right)^2+h^2\ \cdot \cdot \cdot ①$⊿AHC에서 b2=(a−x)2+h2 ···①​

$\righttriangle AHB에서\ c^2=\combi{x}^2+\combi{h}^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ②$⊿AHB에서 c2=x2+h2            ···②​

$\righttriangle ABC=\frac{1}{2}ah\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ③$⊿ABC=12​ah                            ···③​

$$​

 

$①식-②식$①식−②식​

$b^2-c^2=a^2-2ax+x^2+h^2-\left(x^2+h^2\right)$b2−c2=a2−2ax+x2+h2−(x2+h2)​

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-2ax$            =a2−2ax​

$x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ④$x=a2−b2+c22a​                        ···④​

$④식을\ ②식에\ 대입하면$④식을 ②식에 대입하면​

$\ c^2=\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2+h^2$ c2=(a2−b2+c22a​)2+h2​

$h^2=\ c^2-\frac{\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}$h2= c2−(a2−b2+c2)24a2​​

$=\ \frac{4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}\ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ⑤$= 4a2c2−(a2−b2+c2)24a2​     ···⑤​

 

$4a^2h^2=\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)$4a2h2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​

$A=\frac{1}{2}ah=\sqrt{\frac{4a^2h^2}{16}}$A=12​ah=√4a2h216​​

$=\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{16}}$=√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16​​

$=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$=√s(s−a)(s−b)(s−c)​