수학에서, 다각수(多角數, 영어: polygonal number)는 삼각수와 정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수입니다.
고대 그리스 시대에 피타고라스학파는 “모든 것은 수이다”라 생각하여 모든 것을 수와 관련지어 생각했습니다. 심지어 도형도 숫자를 이용하여 표현하고 그 도형과 수와의 관계도 연구하였습니다.
기하학적으로 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타냅니다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 두 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 됩니다. 이 경우 늘리려는 두 변에 각각 한 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가됩니다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬(영어: gnomon)이라고 부릅니다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열의 부분합을 나타내며, 그노몬은 이 등차 수열의 각 항에 대응합니다.
먼저 삼각수를 보겠습니다.
삼각수는 간단히 말하자면, 동일한 물건을 정삼각형 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수입니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정삼각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이 때 각각의 정삼각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들, 즉 1, 3, 6, 10, 15···에서 각각의 수가 삼각수에 해당하지요.
그럼 사각수는 어떤 것일까? 사각수는 말 그대로 정사각형 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수랍니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정사각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이때 각각의 정사각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들, 즉 1, 4, 9, 16, 25···에서 각각의 수가 사각수에 해당합니다.
위의 삼각수와 사각수를 이해했다면 오각수도 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 아래 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 정오각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 가는 것입니다. 이 때 각각의 정오각형 모양의 배열을 만드는 점의 수로 이루어진 수들 1, 5, 12, 22, 35, ···에서 각각의 수가 오각수에 해당하는 것입니다.
다각수의 첫 항은 1로 모두 같습니다. 그리고 자연스럽게 다음과 같은 의문을 가질 수 있습니다. 첫 항을 제외하고 그 다음으로 삼각수와 사각수가 같아지는 항들을 찾을 수 있을까요? 일반항을 이용하면 8번째 삼각수가 36이므로 6번째 사각수와 같음을 알 수 있습니다. 이와 같은 방법으로 삼각수이면서 동시에 사각수인 수를 모두 찾을 수있을까요? 더 나아가 사각수이면서 동시에 오각수인 수를 찾을 수 있을까요? 또 그 개수는 얼마나 많을까요? 먼저 삼각수와 사각수를 생각해 보겠습니다.
m번째 삼각수와 n번째 사각수가 같다고 하면,
이 되고, 완전제곱식의 형태로 고쳐 봅니다.
여기서,
라고 하면,
(단, x, y >0 이고 x는 홀수, y 는 짝수)
의 자연수해를 구하는 문제로 바뀐다. 이 방정식을 펠의 방정식이라고 합니다.