<하양짱샘수학과외>산수평균과 기하평균의 관계

그렇다면 산술평균과 기하평균 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

재미있게도 산술평균이 항상 기하평균 보다 크거나 같습니다.

즉, 산술평균 ≥ 기하평균

이 부등식은 절대부등식입니다.

절대부등식은 항상 성립하는 등식인 항등식 처럼 항상성립하는 부등식을 말합니다.

이때 등호는 변수들이 같을 때이며, 변수는 항상 양수입니다.

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

$$​

대수적 증명

$임의의양수\ a,\ b에\ 대하여,$임의의양수 a, b에 대하여,​

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}$

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함수적 증명

그래프로 살펴보면,

함수 f의 그래프가 함수 g의 그래프보다 항상 크거나 같음을 알 수 있습니다.

f(x)=g(x)는 x=1일때 임을 알수 있습니다.

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기하적 증명

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$\overline {BE}=a,\ \overline {ED}=b\ 라하면,$

$원의반지름\ r=\frac{a+b}{2}$

$\righttriangle BCD와\ \righttriangle BFD는원에\ 내접하는\ $⊿BCD와 ⊿BFD는원에 내접하는 ​

$직각삼각형이다.$직각삼각형입니다.​

$이때,\ $이때, ​

$\overline {CE}\ ,\overline {FO}는\ 직각삼각형의높이로

$\overline {FO}가\ 높이의최댓값이다.$

\overline {FO}=\sqrt{ab}=r=\frac{a+b}{2}$

​