하양짱샘수학이야기

10. 어느 음식점을 이용하는 고객 중 80%는 A메뉴를 주문한다고 한다. 이 음식점을 이용하는 고객 중 100명 을 임의 추출하여 조사할 때, A메뉴를 주문하지 않을 비율이 26% 이상일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [5.0점]

sol) 이 음식점을 이용하는 고객 중 A메뉴를 주문하지 않을 확률은 1-0.8 = 0.2 그러므로 이 음식점을 이용한 고객 중 임의 추출한 100명에서 A메뉴를 주문하지 않을 비율을 p라 하면,

$E\left(\hat{p}\right)=0.2,\ V\left(\hat{p}\right)=\frac{0.2\times 0.8}{100}=\combi{0.04}^2$E(^p)=0.2, V(^p)=0.2×0.8100​=0.042​

이므로 표본비율 p은 근사적으로 정규분포 N(0.2, 0.042)을 따른다.

이때

$Z=\frac{\hat{p}-0.2}{0.04}$Z=^p−0.20.04​​

로 놓으면 확률변수 Z는 근사적으로 표준정규분포 N(0,1)을 따르므로 구하는 확률은

$P(\hat{p}\ge 0.26)$P(^p≥0.26)​

$=P(Z\ge \frac{0.26-0.2}{0.04})$=P(Z≥0.26−0.20.04​)​

$=P(Z\ge 1.5)$=P(Z≥1.5)​

$=0.5-0.4332$=0.5−0.4332​

$=0.0668$=0.0668​

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