혹시 이런 생각을 해본 적 있나요?
"닮음비가 1:2라고 했는데, 왜 넓이는 1:4라고 하지? 그냥 1:2 아닌가?"
중학교 2학년 도형의 닮음 단원에서 학생들이 가장 많이 헷갈리는 부분입니다.
선생님이 "넓이비는 닮음비의 제곱"이라고 알려줘서 외우긴 했는데,
왜 제곱이 되는지는 설명을 못 듣고 넘어가는 경우가 많습니다.
이유를 모르고 외운 공식은 시험에서 조금만 문제가 바뀌어도 흔들리기 쉽습니다.
오늘은 짱샘수학에서 왜 제곱이 되는지 그림으로 이해하고,
기말고사에 자주 나오는 문제까지 풀어보겠습니다.
먼저 정사각형으로 확인해봅시다
한 변의 길이가 1인 정사각형을 생각해보세요. 넓이는 1입니다.
이 정사각형의 가로와 세로를 모두 2배로 늘리면 한 변의 길이가 2인 정사각형이 됩니다.
이 큰 정사각형 안에는 원래 크기의 정사각형이 가로로 2칸, 세로로 2칸, 모두 4칸이 들어갑니다.
- 닮음비: 1 : 2
- 넓이비: 1 : 4 (2 × 2칸)
길이는 한 방향으로만 2배가 되지만,
넓이는 가로와 세로 두 방향 모두에서 2배가 되기 때문에 2 × 2 = 4배가 되는 것입니다.
닮음비를 k배 하면 넓이는 k²배
이 원리는 정사각형뿐 아니라 모든 닮은 도형에 똑같이 적용됩니다.
- 직사각형: 가로 a, 세로 b → 가로 ka, 세로 kb. 넓이는 ab에서 ka × kb = k²ab가 됩니다.
- 삼각형: 밑변 b, 높이 h → 밑변 kb, 높이 kh. 넓이는 (1/2)bh에서 (1/2)(kb)(kh) = k² × (1/2)bh가 됩니다.
밑변도 k배, 높이도 k배이므로 넓이는 k × k = k²배입니다.
곡선으로 둘러싸인 도형도 아주 작은 정사각형으로 채워서 생각하면 같은 결과가 나옵니다.
입체도형은 세제곱입니다
입체도형은 가로, 세로, 높이 세 방향이 모두 k배가 됩니다.
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구분
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닮음비가 m : n일 때
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길이(둘레, 높이 등)
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m : n
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넓이(겉넓이 등)
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m² : n²
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부피
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m³ : n³
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"몇 방향으로 늘어나는가"만 세어보면 됩니다.
길이는 1방향, 넓이는 2방향, 부피는 3방향입니다.
예제 1. 넓이 구하기
문제: 닮음비가 2 : 3인 두 삼각형이 있습니다. 작은 삼각형의 넓이가 12일 때, 큰 삼각형의 넓이를 구하시오.
풀이
넓이비는 닮음비의 제곱이므로 2² : 3² = 4 : 9 입니다.
12 : (큰 삼각형의 넓이) = 4 : 9 (큰 삼각형의 넓이) = 12 × 9 ÷ 4 = 27
답: 27
예제 2. 넓이비에서 거꾸로 닮음비 찾기
문제: 닮은 두 도형의 넓이의 비가 16 : 25입니다. 작은 도형의 둘레가 20일 때, 큰 도형의 둘레를 구하시오.
풀이
넓이비가 16 : 25이므로 닮음비는 제곱근을 취해 4 : 5 입니다. 둘레는 길이이므로 닮음비 그대로 쓰면 됩니다.
20 : (큰 도형의 둘레) = 4 : 5 (큰 도형의 둘레) = 20 × 5 ÷ 4 = 25
답: 25
넓이비를 받으면 먼저 제곱근으로 닮음비를 구하고,
구하려는 것이 길이인지 넓이인지에 따라 다시 맞는 비를 골라 쓰는 흐름입니다.
예제 3. 피자는 어느 쪽이 이득일까? (실생활)
문제: 지름이 20cm인 피자는 10,000원, 지름이 30cm인 피자는 20,000원입니다.
어느 쪽이 더 이득일까요?
풀이
피자는 둥근 모양, 즉 원이고 모든 원은 서로 닮음입니다.
지름의 비가 20 : 30 = 2 : 3이므로 넓이의 비는 2² : 3² = 4 : 9 입니다.
- 20cm 피자의 넓이: 100π
- 30cm 피자의 넓이: 225π
가격을 넓이로 나눠서 비교하면
- 20cm: 10,000 ÷ 100π ≈ 100 ÷ π (π당 100원)
- 30cm: 20,000 ÷ 225π ≈ 88.9 ÷ π (π당 약 88.9원)
답: 30cm 피자가 더 이득입니다.
지름은 1.5배인데 넓이는 2.25배라는 점이 핵심입니다.
큰 피자의 가격이 두 배여도 양은 2.25배이기 때문에 더 이득이 되는 것입니다.
예제 4. 기말고사 단골 유형
문제: 삼각형 ABC에서 점 D, E는 각각 변 AB, AC 위의 점이고 DE ∥ BC입니다.
AD : DB = 2 : 3이고 삼각형 ABC의 넓이가 50일 때, 사각형 DBCE의 넓이를 구하시오.
풀이
DE ∥ BC이므로 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 닮음입니다.
닮음비는 AD : AB = 2 : (2+3) = 2 : 5 입니다. (AD : DB가 아니라 AD : AB임에 주의하세요.)
넓이비 = 2² : 5² = 4 : 25
삼각형 ADE의 넓이 = 50 × 4 ÷ 25 = 8
사각형 DBCE의 넓이 = 50 − 8 = 42
답: 42
자주 틀리는 부분
- 넓이비에 닮음비를 그대로 씁니다. 2 : 3이면 넓이비는 4 : 9입니다. 제곱을 잊지 마세요.
- 부피를 제곱으로 계산합니다. 부피는 세제곱입니다.
- AD : DB를 닮음비로 씁니다. 닮은 삼각형 ADE와 ABC에서 대응하는 변은 AD와 AB입니다. 그림에서 어느 삼각형과 어느 삼각형이 닮음인지 먼저 확인해야 합니다.
- 둘레와 넓이를 섞어 씁니다. 구하는 것이 길이인지 넓이인지 먼저 표시하고 해당하는 비를 쓰세요.
마치며
"닮음비는 한 방향, 넓이는 두 방향, 부피는 세 방향"이라고 기억해두면
공식을 외우지 않고도 스스로 만들어낼 수 있습니다.
이유를 알고 있는 공식은 문제가 바뀌어도 흔들리지 않습니다.
짱샘수학에서는 이렇게 공식을 외우게 하기보다 왜 그렇게 되는지
그림으로 먼저 이해하도록 지도하고 있습니다.
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