이차함수의 그래프 밖에 있는 한 점에서 접선을 그을 때,
접점의 좌표를 구하려면 보통 접선의 방정식에 점을 대입해서 이차방정식을 풉니다.
그런데 이차항의 계수가 1(또는 −1)인 이차함수에서는
계산을 거의 하지 않고 접점의 위치를 바로 말할 수 있는 규칙이 있습니다.
오늘은 짱샘수학에서 이 규칙이 무엇인지, 왜 성립하는지,
그리고 어떤 경우에 쓰는지 예제와 함께 정리해드립니다.
이 글에는 흔히 잘못 외우기 쉬운 부분도 있어서, 정확한 조건을 먼저 짚겠습니다.
핵심 아이디어
이차함수 y = a(x − p)² + q 와 그래프 밖의 한 점 (u, v)가 있습니다.
f(x)를 이 이차함수라고 하겠습니다.
이 점에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 t라 하면
입니다.
이차항의 계수가 a = 1 또는 a = −1일 때는 이것이 더 간단해집니다.
말로 풀면 다음과 같습니다.
- 가로 간격 = 외부 점에서 접점까지의 x좌표의 차이
- 세로 간격 = 외부 점에서 바로 위(또는 아래)에 있는 곡선 위의 점까지의 거리,
즉 | f(u) − v | 가로 간격은 세로 간격의 제곱근이고,
접점은 외부 점의 x좌표를 기준으로 좌우로 같은 거리에 하나씩 있습니다.
주의: 기준은 꼭짓점이 아닙니다
세로 간격을 꼭짓점에서 재는 것으로 외우기 쉬운데, 그렇게 하면 틀립니다.
- 외부 점이 포물선의 축 위(x = p)에 있을 때만 "곡선 위의 점"이 꼭짓점과 같아서 꼭짓점 기준과 결과가 같습니다.
- 그 밖의 경우에는 외부 점과 같은 x좌표를 가진 곡선 위의 점까지의 거리를 재야 합니다.
증명
접점의 x좌표를 t라 하면 그 점에서의 접선은
입니다.
이 접선이 외부 점 (u, v)를 지난다는 조건을 쓰면
s = t − p, w = u − p 라고 놓으면 u − t = w − s 이므로
여기서 s − w = t − u 이고, a w² + q = f(u)이므로 정리하면
가 됩니다.
이 식이 위의 핵심 아이디어의 정확한 형태입니다.
a = ±1이면 나눗셈이 사라집니다.
가지를 함께 확인할 수 있습니다.
- f(u) − v와 a의 부호가 같을 때만 근호 안이 양수가 되어 접선이 두 개 생깁니다.
점이 그래프 "안쪽"에 있으면 근호 안이 음수여서 접선이 존재하지 않습니다.
- t = u ± (같은 값)이므로 두 접점의 x좌표의 중점이 u입니다.
위 "두 접선의 교점은 두 접점의 중점" 글의 성질과 같은 내용입니다.
예제 1.
문제: 이차함수 y = x²의 그래프 밖의 점 (1, −3)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.
표준 풀이 접점을 (t, t²)이라 하면 접선은 y = 2tx − t²입니다.
점 (1, −3)을 지나므로 −3 = 2t − t²,
즉 t² − 2t − 3 = 0, (t − 3)(t + 1) = 0
이므로 t = −1 또는 3입니다.
빠른 풀이 x = 1 위의 곡선 위의 점은 (1, 1)이므로 세로 간격은 1 − (−3) = 4입니다.
가로 간격은 √4 = 2이므로 접점의 x좌표는 1 ± 2, 즉 −1과 3입니다.
답: t = −1, 3
이 예제에서 꼭짓점 (0, 0)까지의 세로 간격은 3이어서 √3이 됩니다.
이것은 실제 가로 간격 2와 맞지 않으므로, 기준은 꼭짓점이 아니라 "바로 위의 곡선"입니다.
예제 2. 축 위의 점, 위로 볼록한 경우
문제: 이차함수 y = −(x − 2)² + 2의 그래프 밖의 점 (2, 3)에서 그은 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.
빠른 풀이 점 (2, 3)은 축 x = 2 위에 있으므로 바로 아래의 곡선 위의 점은 꼭짓점 (2, 2)입니다.
세로 간격은 3 − 2 = 1이고 가로 간격은 √1 = 1이므로 접점의 x좌표는 1과 3입니다.
검산: x = 3에서의 접선은 기울기 −2(3 − 2) = −2, 접점 (3, 1)이므로 y = −2(x − 3) + 1 = −2x + 7입니다.
x = 2를 넣으면 3으로 점 (2, 3)을 지납니다.
답: x = 1, 3
예제 3. 실전형 — 두 접선의 방정식 구하기
문제: 점 (4, 2)에서 곡선 y = x² − 2x + 3에 그은 두 접선의 방정식을 구하시오.
풀이 y = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2로 a = 1입니다.
x = 4에서 곡선 위의 점은 (4, 11)이므로 세로 간격은 11 − 2 = 9,
가로 간격은 √9 = 3입니다.
접점의 x좌표는 4 ± 3, 즉 1과 7입니다.
- t = 1: 접점 (1, 2), 기울기 2(1 − 1) = 0 → 접선 y = 2
- t = 7: 접점 (7, 38), 기울기 2(7 − 1) = 12 → 접선 y = 12(x − 7) + 38 = 12x − 46
두 접선 모두 점 (4, 2)를 지나는지 확인합니다.
y = 2는 당연하고, 12 × 4 − 46 = 2입니다.
답: y = 2, y = 12x − 46
예제 4. 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 넓이
문제: 예제 3의 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
풀이: 접점의 x좌표가 1과 7이므로 두 접점의 가로 거리는 6입니다.
지난 "이차함수와 두 접선 사이의 넓이(1/12 공식)" 글의 공식을 쓰면
넓이 = |a| ÷ 12 × (두 접점의 가로 거리)³ = 1 ÷ 12 × 6³ = 216 ÷ 12 = 18
직접 적분으로 확인하면, 교점의 x좌표가 두 접점의 중점 4이므로
입니다.
답: 18
접점을 이차방정식 없이 바로 찾은 덕분에,
접선의 방정식과 넓이를 구하는 모든 과정이 짧아졌습니다.
예제 5. 이차항의 계수가 1이 아닌 경우
문제: 이차함수 y = 2x²의 그래프 밖의 점 (1, −6)에서 그은 두 접선의 접점의 x좌표를 구하시오.
풀이: 이때는 일반 식 (t − u)² = ( f(u) − v ) ÷ a를 씁니다.
f(1) = 2이므로 f(u) − v = 2 − (−6) = 8이고, a = 2이므로
(t − 1)² = 8 ÷ 2 = 4 → t − 1 = ±2 → t = −1 또는 3
검산: t = −1에서 접선은 y = −4(x + 1) + 2 = −4x − 2이고
x = 1이면 −6, t = 3에서 접선은 y = 12(x − 3) + 18 = 12x − 18이고 x = 1이면 −6입니다.
답: t = −1, 3
이차항의 계수가 1이 아니면 세로 간격을 |a|로 나눈 뒤에 제곱근을 취해야 합니다.
정리
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조건
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가로 간격
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a = ±1
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√(세로 간격)
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|
일반적인 a
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√(세로 간격 ÷
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세로 간격 기준
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외부 점과 같은 x좌표를 가진 곡선 위의 점까지의 거리 (축 위의 점이면 꼭짓점)
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|
접점의 위치
|
외부 점의 x좌표 ± 가로 간격
|
자주 하는 실수
- 세로 간격을 꼭짓점에서 잰다. 외부 점이 축 위가 아니면 틀립니다.
- |a| ≠ 1인데 그대로 제곱근을 취한다. |a|로 나누는 것을 잊지 마세요.
- 접점이 한쪽에만 있다고 생각한다. 접점은 외부 점의 x좌표를 중심으로 좌우에 하나씩 있습니다.
- 점이 그래프 안쪽에 있는데 접선을 구하려 한다. 근호 안이 음수가 나오면 접선이 존재하지 않습니다.
마치며
이 규칙의 핵심은 "접점은 외부 점을 기준으로 좌우 대칭이고,
그 간격은 세로 간격의 제곱근에서 나온다"는 한 문장입니다.
증명 과정을 이해하고 있으면 a가 1이 아닐 때도, 축 위의 점일 때도 스스로 식을 세울 수 있습니다.
짱샘수학은 1:1과 소그룹 과외 형식으로, 공식을 외우게 하기보다 왜 그렇게 되는지부터 함께 확인합니다. 하양에서 고등 수학의 접선 문제가 고민이라면 풀어본 문제를 가지고 카카오톡 오픈채팅으로 편하게 문의 주세요.
하양짱샘수학
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