<하양짱샘수학과외>사인법칙의 증명방법

삼각형 ABC의 각 A, B, C을 마주 보는 변을 a, b, c라고 하면,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$asinA​=bsinB​=csinC​=2R​

$R=\triangle ABC의\ 외접원의\ 반지름$R=△ABC의 외접원의 반지름​

1. 삼각형의 넓이를 이용한 증명

삼각형 ABC의 변 c위의 높이를 h라 하면,

$h=b\sin A$h=bsinA​

$\triangle ABC의넓이\ $△ABC의넓이 ​

$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}bc\sin A$S=12​ch=12​bcsinA​

$2S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C$2S=bcsinA=acsinB=absinC​

$양변을abc로\ 나누면$양변을abc로 나누면​

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA​=bsinB​=csinC​​

2. 외접원을 이용한 증명

A를 지나는 지름을 선분 AD라 하자. △ABD는 직각삼각형이며, 빗변 AD=2R

$c=2R\sin D$c=2RsinD​

각 C가 예각 일 때 ∠C =∠D (∵원주각)

$\therefore \ c=2R\sin C$∴ c=2RsinC​

만약 ∠C가 직각이면, B=D이며,

$2R=c$2R=c​

$\sin C=1$sinC=1​

이 되므로 사인 법칙이 성립한다.

각 C가 둔각 일 때

각 C가 직각 일 때, C와 D는 내접 사각형의 마주 보는 두 각이므로,

$\angle C=\pi -\angle D$∠C=π−∠D​

이다. 그러므로 사인 법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

나머지 각 A,B역시 같은 방법으로 증명 할 수 있습니다.

3. 코사인 법칙을 이용한 증명

$\frac{\combi{\sin }^2A}{\combi{a}^2}=\frac{1-\combi{\cos }^2A}{\combi{a}^2}$sin2Aa2​=1−cos2Aa2​​

$=\frac{\combi{4}\combi{b}^2\combi{c}^2-\combi{4}\combi{b}^2\combi{c}^2\combi{\cos }^2A}{4\combi{a}^2\combi{b}^2\combi{c}^2}$=4b2c2−4b2c2cos2A4a2b2c2​​

$=\frac{\combi{4}\combi{b}^2\combi{c}^2-\combi{\left(\combi{\combi{b}^2+\combi{c}^2-4bc}\right)}^2}{4\combi{a}^2\combi{b}^2\combi{c}^2}$=4b2c2−(b2+c2−4bc)24a2b2c2​​

$=\frac{\left(\combi{a+b+c}\right)\left(\combi{a+b-c}\right)\left(\combi{a-b+c}\right)\left(\combi{b+c}-a\right)}{4\combi{a}^2\combi{b}^2\combi{c}^2}$=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)4a2b2c2​​

세변과 세각의 사인값은 모두 양수이고, a,b,c에 대하여 결과가 대칭을 이루므로 변의 선택에 영향을 받지 않습니다. 그러므로 사인 법칙이 성립합니다.