<하양짱샘수학과외>코사인법칙의 증명방법

제1코사인법칙

△ABC의 꼭지점A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 점 D라 하면,

$\overline {CD}=CA\cos C,\ \ \overline {BD}=AB\cos B$CD=CAcosC,  BD=ABcosB​

$\overline {BC}=CA\cos C+AB\cos B$BC=CAcosC+ABcosB​

$\left(\because \ \overline {BC}\ =\overline {CD}+\ \overline {BD}\right)$(∵ BC =CD+ BD)​

$a=b\cos C+c\cos B$a=bcosC+ccosB​

제2코사인법칙

제1코사인법칙의 양변에 각각 a,b,c를 곱하면,

$a\times a=a\times \left(\combi{b\cos C+c\cos B}\right)$a×a=a×(bcosC+ccosB)​

$b\times b=b\times \left(\combi{c\cos A+a\cos C}\right)$b×b=b×(ccosA+acosC)​

$c\times c=c\times \left(\combi{a\cos B+b\cos A}\right)$c×c=c×(acosB+bcosA)​

$\combi{a}^2=a\combi{b\cos C+ca\cos B}$a2=abcosC+cacosB​

$\combi{b}^2=b\combi{c\cos A+ab\cos C}$b2=bccosA+abcosC​

$\combi{c}^2=c\combi{a\cos B+bc\cos A}$c2=cacosB+bccosA​

좌,우변 끼리의 차를 구하면,

$\combi{a}^2-\combi{b}^2-\combi{c}^2$a2−b2−c2​

$=a\combi{b\cos C+ca\cos B}-\left(\combi{b\combi{c\cos A+ab\cos C}}\right)-\left(\combi{c\combi{a\cos B+bc\cos A}}\right)$=abcosC+cacosB−(bccosA+abcosC)−(cacosB+bccosA)​

$=-2bc\cos A$=−2bccosA​

$$​

$\combi{a}^2=\combi{b}^2+\combi{c}^2-2bc\cos A$a2=b2+c2−2bccosA​

$\combi{b}^2=\combi{c}^2+\combi{a}^2-2ca\cos B$b2=c2+a2−2cacosB​

$\combi{c}^2=\combi{a}^2+\combi{b}^2-2ab\cos C$c2=a2+b2−2abcosC​

이 식을 각을 중심으로 정리하면,

$$​

$\cos A=\frac{\combi{b}^2+\combi{c}^2-\combi{a}^2}{2bc}$cosA=b2+c2−a22bc​​

$\cos B=\frac{\combi{c}^2+\combi{a}^2-\combi{b}^2}{2ca}$cosB=c2+a2−b22ca​​

$\cos C=\frac{\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2}{2ab}$cosC=a2+b2−c22ab​​