<하양짱샘수학>"점, 선, 면의 약속" 기하학의 아버지 유클리드와 <원론> 총정리 (정의부터 교과과정까지)

안녕하세요, 하양 수학전문 하양짱샘수학입니다!

우리가 학교에서 도형 문제를 풀 때 당연하게 쓰는 "점은 크기가 없고, 선은 폭이 없다"라는 개념,

그리고 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실은 어디서부터 시작되었을까요?

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바로 약 2,300년 전 고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)가 집대성한

저서 <원론(Elements, 기하학 원본)>에서 시작되었습니다.

오늘은 수학의 기초가 되는 유클리드 기하학의 모든 것을 알기 쉽게 정리해 드릴게요!

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1. 유클리드와 인류 최고의 베스트셀러 <원론>

기원전 300년경, 알렉산드리아의 수학자 유클리드는

당시까지 발견된 기하학과 수론의 모든 지식을 집대성하여 총 13권으로 이루어진 <원론>을 저술했습니다.

• 범위: 제1권부터 제6권까지는 평면기하학, 제7권부터 제9권까지는 정수론, 제10권은 무리수, 제11권부터 제13권까지는 입체기하학을 다루고 있습니다.
• 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 인쇄된 책 중 하나로 꼽힐 만큼 서양 학문 체계의 근간이 되었습니다.

2. <원론>의 시작: 23개의 정의와 공리·공준

유클리드는 수학을 증명하기 위해 아무도 부정할 수 없는 명확한 출발점들을 세웠습니다.

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▶ 23개의 정의 (Definitions): 도형을 다루기 전, 용어의 약속부터 시작합니다.

1. '점'은 넓이가 없는 위치이다.
2. '선'은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 양 끝은 점으로 이루어져 있다.
4. '직선'은 고르게 놓여있는 점 위에 있는 선이다.
5. '면'은 길이와 폭을 갖고 있다.
6. '면'의 끝은 선으로 이루어져 있다.
7. '평면'은 고르게 놓여있는 선 위에 있는 면이다.
8. '평면각'은 면에 있는 두 선의 기울기로 두 선은 만나지만 같은 직선 위에 놓여있지는 않다.
9. 여러 직선이 각을 만들었을 때의 각은 곧은각이라고 불린다.
10. 한 직선 위에 다른 직선이 놓이고, 두 직선 사이에 만들어진 두 각이 서로 같을 시에 두 각은 직각으로 불리며 두 선은 서로 수직이다.
11. 둔각은 직각보다 큰 각이다.
12. 예각은 직각보다 작은 각이다.
13. 경계는 모든 것의 끝이다.
14. 도형은 경계를 갖고 있는 것이다.
15. 원은 한 점으로부터 길이가 같은 직선이 뻗어 나갔을 때 만나는 점들로 둘러싸여 만들어진 평면 도형이다.
16. 처음 기준이 된 점은 원의 중심으로 부른다.
17. 지름이란 원의 둘레에서 원의 중심을 거쳐 원의 둘레로 이어진 직선을 말하며 또한 원을 반으로 나누는 선이다.
18. 반원이란 원을 지름으로 이등분하였을 때의 한쪽으로 반원의 중심은 원의 중심과 같다.
19. 다각형이란 직선들로 둘러싸인 평면 도형으로 삼각형은 세 개의 직선, 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형이다.
20. 삼각형 중 정삼각형은 세 개의 변이 같은 것이고 이등변 삼각형은 두 개의 변이 같은 것이며 부등변 삼각형은 모든 변이 다른 삼각형이다.
21. 또한 직각삼각형은 직각을 갖고 있는 삼각형이며 둔각삼각형은 둔각을 갖고 있는 삼각형이고 예각삼각형은 예각만을 갖고 있는 삼각형이다.
22. 사각형 중 정사각형은 네 변이 모두 같고 직각으로만 이루어져 있는 것이며, 직사각형은 네 각이 모두 직각이지만 네 개의 변이 모두 같지는 않다. 마름모는 네 개의 변이 모두 같지만 직각으로 이루어져 있지 않고, 평행사변형은 마주보는 각과 변은 서로 같지만 네 개의 변과 각이 모두 같지는 않다.
23. 한 평면 위에서 두 직선이 양쪽 어디에서도 만나지 않을 때 평행하다고 하고, 서로 평행한 두 직선을 평행선이라 한다.

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▶ 공준 (Postulates)과 공리 (Common Notions): 증명 없이 참으로 받아들이는 규칙입니다.

1. 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다.
2. 임의의 선분은 더 연장할 수 있다.
3. 서로 다른 두 점 A, B에 대해, 점 A를 중심으로 하고 선분 AB를 한 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선공리, 제5공준)

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3. 학교 교과과정 속의 유클리드 기하학

우리가 중·고등학교 수학 시간에 배우는 도형의 내용은

대부분 이 유클리드 <원론> 제1권~6권에 고스란히 담겨 있습니다.

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▶ 중학교 과정:

1. 기본 도형과 작도: 점, 선, 면의 정의와 각의 성질

2. 삼각형과 사각형의 성질: 합동, 닮음, 평행사변형의 조건

3. 피타고라스의 정리: 직각삼각형의 변의 길이 관계 (a2 + b2 = c2)

4. 원의 성질: 원주각, 접선과 현의 성질

▶ 고등학교 과정:

1. 도형의 방정식 (고1): 좌표평면 위로 유클리드 기하를 옮겨 대수적으로 해석

2. 기하 (선택 과목): 이차곡선, 평면벡터, 공간도형과 공간좌표

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4. 마치며

도형 문제를 풀 때 학들이 가장 어려워하는 이유는 공식을 단순 암기했기 때문입니다.

유클리드가 정의와 공리로부터 차근차근 논리적 성질을 쌓아 올렸듯,

수학은 원리를 이해하고 순서대로 증명해 나가는 힘이 가장 중요합니다.

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하양짱샘수학에서는 공식만 외우는 수업이 아니라,

도형의 참맛과 논리적 사고력을 키워주는 1:1 맞춤 및 소수정예 수업을 진행하고 있습니다.

중·고등 수학의 탄탄한 뼈대를 만들고 싶다면 언제든 문의 주세요!

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