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<하양짱샘수학>삼각형의 넓이구하기 ② 헤론의공식

하양짱샘 2019. 6. 20. 20:03

2019. 6. 20. 20:03

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삼각형의 세변의 길이를 알때 헤론의 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

$A=\sqrt{\left(s\left(s-a\right)\left(s-b\right)s-c\right)}$A=√(s(s−a)(s−b)s−c)

$여기서,\ s=\frac{a+b+c}{2}$여기서, s=a+b+c2

s를 대입하여 A를 표현하면,

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$A=14√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

$A=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(\combi{a}^2\combi{b}^2+\combi{a}^2c^2+b^2c^2\right)-\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14√2(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2-2\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14√(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)

$A=\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{\combi{b}^2\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2}$A=14√4a2b2(a2+b2+c2)2

이 된다.

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

삼각함수를 이용한 증명

$A=\frac{1}{2}ab\sin C\ ...\left(1\right)$A=12absinC ...(1)

에서 코사인 법칙을 이용하면,

$\combi{c}^2=\combi{a}^2+\combi{b}^2-2ab\cos C$c2=a2+b2−2abcosC

$\cos C=\frac{\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2}{2ab}$cosC=a2+b2−c22ab

$\sin ^2C+\cos ^2C=1$sin2C+cos2C=1

$\sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}$sinC=√1−cos2C

$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}{4\combi{a}^2\combi{b}^2}}$ =√4a2b2−(a2+b2−c2)24a2b2

$\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$ =√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab

(1)식에 대입하여 정리하면,

$A=\frac{1}{2}ab\times \frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$A=12ab×√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$ =14√4a2b2−(a2+b2−c2)2

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(2ab\right)}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$ =14√22−(a2+b2−c2)2

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab-\combi{a}^2-\combi{b}^2+\combi{c}^2\right)\combi{\left(2ab+\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}}$ =14√(2ab−a2−b2+c2)2

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\combi{c}^2-\left(a-b\right)^2\right)\combi{\left(\left(a+b\right)^2-\combi{c}^2\right)}}$ =14√(c2−(a−b)2)((a+b)2−c2)

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(c-a+b\right)\left(c+a+b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}$ =14√(c−a+b)(c+a+b)(a+b−c)(a+b+c)

$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$ =14√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

피타고라스의 정리를 이용한 증명

$\righttriangle AHC에서\ \combi{b}^2=\left(a-x\right)^2+h^2\ \cdot \cdot \cdot ①$⊿AHC에서 b2=(a−x)2+h2 ···①

$\righttriangle AHB에서\ c^2=\combi{x}^2+\combi{h}^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ②$⊿AHB에서 c2=x2+h2 ···②

$\righttriangle ABC=\frac{1}{2}ah\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ③$⊿ABC=12ah ···③

$①식-②식$①식−②식

$b^2-c^2=a^2-2ax+x^2+h^2-\left(x^2+h^2\right)$b2−c2=a2−2ax+x2+h2−(x2+h2)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-2ax$ =a2−2ax

$x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ④$x=a2−b2+c22a ···④

$④식을\ ②식에\ 대입하면$④식을 ②식에 대입하면

$\ c^2=\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2+h^2$ c2=(a2−b2+c22a)2+h2

$h^2=\ c^2-\frac{\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}$h2= c2−(a2−b2+c2)24a2

$=\ \frac{4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}\ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ⑤$= 4a2c2−(a2−b2+c2)24a2 ···⑤

$4a^2h^2=\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)$4a2h2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

$A=\frac{1}{2}ah=\sqrt{\frac{4a^2h^2}{16}}$A=12ah=√4a2h216

$=\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{16}}$=√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16

$=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$=√s(s−a)(s−b)(s−c)

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<하양짱샘수학>삼각형의 넓이구하기 ①밑변의 길이와 높이를 이용

하양짱샘 2019. 6. 20. 20:00

2019. 6. 20. 20:00

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수학을 시험을 치르다 보면 방정식문제던 함수 문제던 난이도가 높아 질 수록 삼각형의 넓이를 구하라는 문제가 나오는 경우를 자주봅니다.

이번에 초등학교때 배웠던 밑변과 높이를 구할 수 있으면 쉽게 풀 수 있지만 그렇지 못할 경우엔 문제를 풀기가 까다로워지는 경우가 많습니다.

짱샘과 같이 삼각형 넓이를 구하는 여러 가지 방법을 알아보고 그 증명도 같이 해 봅시다.

$A=\frac{1}{2}bh$

$A=\frac{1}{2}bh$A=12bh

초등학교 과정에서 배우는 가장 기초가 되는 삼각형의 넓이 구하는 공식입니다.

이 방법은 넓이의 기본인 사각형의 넓이를 이용한 방법입니다. 삼각형의 넓이가 사각형의 넓이의 반이 된다는 것을 이용한 것이죠.

이 방법에서 삼각형의 넓이는 밑변과 높이가 같으면 넓이가 같다는 것을 알수 있습니다.

다시 말하면,

평행한 두 직선 l과 m에서 직선m위의 두점 B,C와 직선l위의 한점으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.

여기에서 더 생각해 보면

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.

즉, BC:CD=m:n 이면

$\triangle ABC\ :\ \triangle ACD=m:n$△ABC : △ACD=m:n

$\triangle ABC=\frac{1}{2}mh,\ \triangle ACD=\frac{1}{2}nh이므로$△ABC=12mh, △ACD=12nh이므로

$\triangle ABC:\triangle ACD=\frac{1}{2}mh:\frac{1}{2}nh=m:n$△ABC:△ACD=12mh:12nh=m:n

이 됩니다.

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