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▶ 두변의 길이와 끼인각의 크기를 이용

-예각삼각형

 

아래의 삼각형과 같이 선분 b,c그리고 그사이 끼인각 ∠α가 주어 졌을 때 △ABC의 넓이를 구하는 방법입니다.

 

중학3학년 삼각비과정에서 배우고

나면 자주 사용하는 방법으로 삼각형의 넓이를 구하는 다른 방법의 근간이 되는 방법입니다.

​

삼각형넓이가 사각형넓이의 반이 된다는 방법으로 유도된

$A=\frac{1}{2}ch$A=12​ch​

에서 높이h를 삼각함수로 구하는 방법입니다.

꼭지점 C에서 변c로 수선의 발을 내려 만나는 점을 H라하고 선분CH는 높이h가 됩니다.

 
$\sin \alpha =\frac{h}{b}$sinα=hb​​
$h=\sin \alpha \times b$h=sinα×b​
$A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha $A=12​bcsinα​

​

한변의 길이와 양끝각의 크기를 이용

-예각삼각형

한변의 길이c와 양끝각 α,β가 주어 졌을 때

C에서 선분 AB에 수선의 발을 내리고 그 교점을 H라 하면, △ABC의 높이는 h가 됩니다.

$∠ACH=90-α,\ ∠BCH=90-β$∠ACH=90−α, ∠BCH=90−β​

가 됩니다.

△ACH에서 기준각을∠ACH로 하면 선분CH는 밑변이 되고 선분AH는 높이가 됩니다.

△BCH에서 기준각을 ∠BCH로 하면 선분BH는 밑변이 되고 선분BH는 높이가 됩니다.

 
$\tan \left(90-\alpha \right)=\frac{\overline {AH}}{h}$tan(90−α)=AHh​​
$\overline {AH}=h\tan \left(90-\alpha \right)$AH=htan(90−α)​
$\tan \left(90-\beta \right)=\frac{\overline {BH}}{h}$tan(90−β)=BHh​​
$\overline {BH}=h\tan \left(90-\beta \right)$BH=htan(90−β)​
$$​

△ABC에서

 
$\overline {AB}=\overline {AH}+\overline {BH}$AB=AH+BH​
$=h\tan \left(90-\alpha \right)+h\tan \left(90-\beta \right)$=htan(90−α)+htan(90−β)​
$=h\left\{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)\right\}$=h{tan(90−α)+tan(90−β)}​
$\therefore \ h=\frac{\overline {AB}}{\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$∴ h=AB{tan(90−α)+tan(90−β)}​​

∴△ABC의 넓이

 
$A=\frac{1}{2}c\frac{c}{\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$A=12​cc{tan(90−α)+tan(90−β)}​​
$=\frac{c^2}{2\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$=c22{tan(90−α)+tan(90−β)}​​

두변의 길이와 끼인각의 크기를 이용

-둔각삼각형

예각삼각형과 달리 둔각삼각형에서는 두변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때, A에서 내린 수선이 삼각형의 바깥쪽에 내려져 선분BC의 연장선과 만나게 됩니다.

그 교점을 H라 하면, 선분AH가 △ABC의 높이가 됩니다.

삼각형의 넓이는 둔각삼각형이든 예각 삼각형이든 상관없이 밑변의 길이와 높이만 이용해 구할 수 있습니다.

이 내용은 앞에서 공부했던 삼각형 넓이 구하는 방법은 <하양짱샘수학>삼각형의 넓이구하기 ①밑변의 길이와 높이를 이용에서 공부한 바 있습니다.

​

둔각△ABC에서 선분AH를 구하면 넓이를 구할 수 있습니다.

선분AH는 △ABH에서 삼각비를 이용하면 구할수 있겠죠?

$\sin \left(180-\alpha \right)=\frac{\overline {BH}}{\overline {AH}}=\frac{h}{c}$sin(180−α)=BHAH​=hc​​
$h=c\sin \left(180-\alpha \right)$h=csin(180−α)​
$A=\frac{1}{2}ac\sin \left(180-\alpha \right)$A=12​acsin(180−α)​

한변의 길이와 양끝각의 크기를 이용

-둔각삼각형

위의 경우와 마찬가지로 점A에서 선분BC의 연장선에 수선을 내립니다.

△AHC에서

 
$\angle CAH=90\cir -\alpha $∠CAH=90°−α​
$\tan \left(90\cir -\alpha \right)=\frac{\overline {CH}}{\overline {AH}}=\frac{\overline {CH}}{h}$tan(90°−α)=CHAH​=CHh​​
$\overline {CH}=h\tan \left(90\cir -\alpha \right)$CH=htan(90°−α)​

△AHB에서

 
$\angle ABH=180\cir -\beta $∠ABH=180°−β​
$\angle BAH=180\cir -90\cir -\left(180\cir -\beta \right)$∠BAH=180°−90°−(180°−β)​
$=\beta -90\cir $=β−90°​
$$​
$\tan \left(\beta -90\cir \right)=\frac{\overline {BH}}{\overline {AH}}=\frac{\overline {BH}}{h}$tan(β−90°)=BHAH​=BHh​​
$\overline {BH}=h\tan \left(\beta -90\cir \right)$BH=htan(β−90°)​
$$​
$\overline {BC}=\overline {CH}-\overline {BH}$BC=CH−BH​
$\ \ \ \ a=h\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)$    a=htan(90°−α)−htan(β−90°)​
$\ \ \ \ \ =h\left\{\combi{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-\tan \left(\beta -90\cir \right)}\right\}$     =h{tan(90°−α)−tan(β−90°)}​
$h=\frac{a}{\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$h=a{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​
$$​

∴ △ABC의 넓이

 

 
$A=\frac{1}{2}a\frac{a}{\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$A=12​aa{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​
$=\frac{a^2}{2\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$=a22{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​

 

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삼각형의 세변의 길이를 알때 헤론의 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

$A=\sqrt{\left(s\left(s-a\right)\left(s-b\right)s-c\right)}$A=√(s(s−a)(s−b)s−c)​
$여기서,\ s=\frac{a+b+c}{2}$여기서, s=a+b+c2​​

s를 대입하여 A를 표현하면,

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$A=14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(\combi{a}^2\combi{b}^2+\combi{a}^2c^2+b^2c^2\right)-\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√2(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2-2\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{\combi{b}^2\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2}$A=14​√4a2b2(a2+b2+c2)2​
$$​

이 된다.

​

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

삼각함수를 이용한 증명

$A=\frac{1}{2}ab\sin C\ ...\left(1\right)$A=12​absinC ...(1)​

에서 코사인 법칙을 이용하면,

 
$\combi{c}^2=\combi{a}^2+\combi{b}^2-2ab\cos C$c2=a2+b2−2abcosC​
$\cos C=\frac{\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2}{2ab}$cosC=a2+b2−c22ab​​
$\sin ^2C+\cos ^2C=1$sin2C+cos2C=1​
$\sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}$sinC=√1−cos2C​
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}{4\combi{a}^2\combi{b}^2}}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)24a2b2​​
$$​
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​

(1)식에 대입하여 정리하면,

$A=\frac{1}{2}ab\times \frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$A=12​ab×√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√4a2b2−(a2+b2−c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(2ab\right)}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√22−(a2+b2−c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab-\combi{a}^2-\combi{b}^2+\combi{c}^2\right)\combi{\left(2ab+\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(2ab−a2−b2+c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\combi{c}^2-\left(a-b\right)^2\right)\combi{\left(\left(a+b\right)^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(c2−(a−b)2)((a+b)2−c2)​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(c-a+b\right)\left(c+a+b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}$  =14​√(c−a+b)(c+a+b)(a+b−c)(a+b+c)​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$  =14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​

피타고라스의 정리를 이용한 증명

$\righttriangle AHC에서\ \combi{b}^2=\left(a-x\right)^2+h^2\ \cdot \cdot \cdot ①$⊿AHC에서 b2=(a−x)2+h2 ···①​
$\righttriangle AHB에서\ c^2=\combi{x}^2+\combi{h}^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ②$⊿AHB에서 c2=x2+h2            ···②​
$\righttriangle ABC=\frac{1}{2}ah\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ③$⊿ABC=12​ah                            ···③​
$$​
 
$①식-②식$①식−②식​
$b^2-c^2=a^2-2ax+x^2+h^2-\left(x^2+h^2\right)$b2−c2=a2−2ax+x2+h2−(x2+h2)​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-2ax$            =a2−2ax​
$x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ④$x=a2−b2+c22a​                        ···④​
$④식을\ ②식에\ 대입하면$④식을 ②식에 대입하면​
$\ c^2=\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2+h^2$ c2=(a2−b2+c22a​)2+h2​
$h^2=\ c^2-\frac{\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}$h2= c2−(a2−b2+c2)24a2​​
$=\ \frac{4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}\ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ⑤$= 4a2c2−(a2−b2+c2)24a2​     ···⑤​
 
$4a^2h^2=\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)$4a2h2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​
$A=\frac{1}{2}ah=\sqrt{\frac{4a^2h^2}{16}}$A=12​ah=√4a2h216​​
$=\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{16}}$=√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16​​
$=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$=√s(s−a)(s−b)(s−c)​
 

 

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수학을 시험을 치르다 보면 방정식문제던 함수 문제던 난이도가 높아 질 수록 삼각형의 넓이를 구하라는 문제가 나오는 경우를 자주봅니다.

​

이번에 초등학교때 배웠던 밑변과 높이를 구할 수 있으면 쉽게 풀 수 있지만 그렇지 못할 경우엔 문제를 풀기가 까다로워지는 경우가 많습니다.

​

짱샘과 같이 삼각형 넓이를 구하는 여러 가지 방법을 알아보고 그 증명도 같이 해 봅시다.

$A=\frac{1}{2}bh$

$A=\frac{1}{2}bh$A=12​bh​

 

초등학교 과정에서 배우는 가장 기초가 되는 삼각형의 넓이 구하는 공식입니다.

이 방법은 넓이의 기본인 사각형의 넓이를 이용한 방법입니다. 삼각형의 넓이가 사각형의 넓이의 반이 된다는 것을 이용한 것이죠.

                                

이 방법에서 삼각형의 넓이는 밑변과 높이가 같으면 넓이가 같다는 것을 알수 있습니다.

다시 말하면,

평행한 두 직선 l과 m에서 직선m위의 두점 B,C와 직선l위의 한점으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.

여기에서 더 생각해 보면

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.

 

즉, BC:CD=m:n 이면​
$\triangle ABC\ :\ \triangle ACD=m:n$△ABC : △ACD=m:n​
$\triangle ABC=\frac{1}{2}mh,\ \triangle ACD=\frac{1}{2}nh이므로$△ABC=12​mh, △ACD=12​nh이므로​
$\triangle ABC:\triangle ACD=\frac{1}{2}mh:\frac{1}{2}nh=m:n$△ABC:△ACD=12​mh:12​nh=m:n​
이 됩니다.

 

​

 

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