에라토스테네스(영어: Eratosthenes of Cyrene, Ερατοσθένης, 기원전 274년 ~ 기원전 196년)는 고대 그리스의 수학자이자 천문학자이다. 헬레니즘 시대 이집트에서 활약했으며, 문헌학 및 지리학을 비롯해 헬레니즘 시대 학문 다방면에 걸쳐 업적을 남겼지만, 특히 수학과 천문학의 분야에서 후세에 남는 큰 업적을 남겼다.

지구의 크기를 처음으로 계산해 냈으며, 또 소수를 걸러내는 에라토스테네스의 체를 고안한 것으로도 알려져 있다. 이런 업적으로 제2의 플라톤이라고도 불렸다. “베타”(β)란 별명으로도 알려져 있다. "그를 시기하고 경쟁의 상대로 여겼던 어떤 사람은 그를 '베타'라고 불렀다고 한다. 베타는 알다시피 그리스 어 알파벳의 두 번째 글자이다. 에라토스테네스는 무슨 일을 하든 그 분야에서 여지없이 세계 둘째가는 사람이기 때문에 베타라는 이름으로 불렀다는 것이다. 그러나 에라토스테네스가 손을 댄 거의 모든 분야에서 그는 '베타'가 아니라 아주 확실한 '알파'(α)였다."

 

 

 

 

 

 

수학, 어렵고 지루하다고 생각하나요?

세상에서 가장 큰 소수를 찾는 흥미진진한 이야기를 통해 수학의 매력에 빠져보세요!

6년 만에 가장 큰 소수 발견! 2024년, 무려 1600만 자리의 어마어마한 숫자가 세상에서 가장 큰 소수로 인정받았어요!

소수는 1과 자기 자신으로만 나눠지는 특별한 수인데요, 이런 소수를 찾는 일은 마치 보물찾기처럼 흥미진진하답니다.

​

소수는 왜 중요할까요?

소수는 수학의 기본 단위와 같아서, 소수의 비밀을 밝히면 수학의 모든 것을 이해할 수 있다고 해요.

마치 레고 블록처럼, 모든 수는 소수라는 작은 블록으로 만들어져 있기 때문이죠.

​

소수 찾기, 어떻게 할까요?

전 세계 사람들이 함께 참여하는 'GIMPS'라는 프로젝트가 있어요.

컴퓨터 프로그램을 이용해서 누구나 소수를 찾을 수 있답니다.

마치 게임을 하듯이, 컴퓨터가 열심히 계산해서 소수를 찾아내는 거예요!

​

소수 찾기의 매력은?

  • 세계 기록에 도전: 가장 큰 소수를 찾으면 세계적인 기록을 세울 수 있어요!
  • 보상: 소수를 찾으면 상금도 받을 수 있답니다.
  • 컴퓨터 성능 향상: 소수 찾기를 통해 컴퓨터 성능을 시험해 볼 수 있어요.

​

우리 아이들에게 소수 찾기가 주는 의미는?

  • 수학에 대한 흥미 유발: 어렵게만 느껴졌던 수학이 재미있는 놀이처럼 느껴질 거예요.
  • 탐구 정신 함양: 스스로 궁금한 것을 찾아 해결하는 능력을 키울 수 있어요.
  • 협동심 함양: 전 세계 사람들과 함께 목표를 달성하는 경험을 할 수 있어요.

​

짱샘수학에서 소수 찾기 활동을 하양짱샘과 함께 해 보세요!

  • 소수에 대한 설명과 함께, 에라토스테네스의 체에 대해 소개합니다.
  • 하양짱샘과 함께 직접 소수를 찾아보는 활동을 해 보세요.
  • 소수 찾기 대회에 직접 참여 해보세요.

​

수학, 어렵고 지루한 과목이 아닙니다!

세상에서 가장 큰 소수를 찾는 흥미진진한 이야기를 통해 수학의 매력을 느껴보세요!

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시행월
시행일
주관
영역
3월
28(목)
서울특별시교육청
국/수/영/사/과 [출제범위]
4월
      
5월
8(수)
경기도교육청
국/수/영/사/과 [출제범위]
6월
4(화)
한국교육과정평가원
전영역 [출제범위]
7월
11(목)
인천광역시교육청
국/수/영/사/과 [출제범위]
8월
      
9월
4(수)
한국교육과정평가원
전영역 [출제범위]
10월
15(화)
서울특별시교육청
전영역 [출제범위]
11월
14(목)
대학수학능력시험
전영역 [출제범위]
횟수
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▶ 두변의 길이와 끼인각의 크기를 이용

-예각삼각형

 

아래의 삼각형과 같이 선분 b,c그리고 그사이 끼인각 ∠α가 주어 졌을 때 △ABC의 넓이를 구하는 방법입니다.

 

중학3학년 삼각비과정에서 배우고

나면 자주 사용하는 방법으로 삼각형의 넓이를 구하는 다른 방법의 근간이 되는 방법입니다.

​

삼각형넓이가 사각형넓이의 반이 된다는 방법으로 유도된

$A=\frac{1}{2}ch$A=12​ch​

에서 높이h를 삼각함수로 구하는 방법입니다.

꼭지점 C에서 변c로 수선의 발을 내려 만나는 점을 H라하고 선분CH는 높이h가 됩니다.

 
$\sin \alpha =\frac{h}{b}$sinα=hb​​
$h=\sin \alpha \times b$h=sinα×b​
$A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha $A=12​bcsinα​

​

한변의 길이와 양끝각의 크기를 이용

-예각삼각형

한변의 길이c와 양끝각 α,β가 주어 졌을 때

C에서 선분 AB에 수선의 발을 내리고 그 교점을 H라 하면, △ABC의 높이는 h가 됩니다.

$∠ACH=90-α,\ ∠BCH=90-β$∠ACH=90−α, ∠BCH=90−β​

가 됩니다.

△ACH에서 기준각을∠ACH로 하면 선분CH는 밑변이 되고 선분AH는 높이가 됩니다.

△BCH에서 기준각을 ∠BCH로 하면 선분BH는 밑변이 되고 선분BH는 높이가 됩니다.

 
$\tan \left(90-\alpha \right)=\frac{\overline {AH}}{h}$tan(90−α)=AHh​​
$\overline {AH}=h\tan \left(90-\alpha \right)$AH=htan(90−α)​
$\tan \left(90-\beta \right)=\frac{\overline {BH}}{h}$tan(90−β)=BHh​​
$\overline {BH}=h\tan \left(90-\beta \right)$BH=htan(90−β)​
$$​

△ABC에서

 
$\overline {AB}=\overline {AH}+\overline {BH}$AB=AH+BH​
$=h\tan \left(90-\alpha \right)+h\tan \left(90-\beta \right)$=htan(90−α)+htan(90−β)​
$=h\left\{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)\right\}$=h{tan(90−α)+tan(90−β)}​
$\therefore \ h=\frac{\overline {AB}}{\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$∴ h=AB{tan(90−α)+tan(90−β)}​​

∴△ABC의 넓이

 
$A=\frac{1}{2}c\frac{c}{\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$A=12​cc{tan(90−α)+tan(90−β)}​​
$=\frac{c^2}{2\left\{\combi{\tan \left(90-\alpha \right)+\tan \left(90-\beta \right)}\right\}}$=c22{tan(90−α)+tan(90−β)}​​

두변의 길이와 끼인각의 크기를 이용

-둔각삼각형

예각삼각형과 달리 둔각삼각형에서는 두변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때, A에서 내린 수선이 삼각형의 바깥쪽에 내려져 선분BC의 연장선과 만나게 됩니다.

그 교점을 H라 하면, 선분AH가 △ABC의 높이가 됩니다.

삼각형의 넓이는 둔각삼각형이든 예각 삼각형이든 상관없이 밑변의 길이와 높이만 이용해 구할 수 있습니다.

이 내용은 앞에서 공부했던 삼각형 넓이 구하는 방법은 <하양짱샘수학>삼각형의 넓이구하기 ①밑변의 길이와 높이를 이용에서 공부한 바 있습니다.

​

둔각△ABC에서 선분AH를 구하면 넓이를 구할 수 있습니다.

선분AH는 △ABH에서 삼각비를 이용하면 구할수 있겠죠?

$\sin \left(180-\alpha \right)=\frac{\overline {BH}}{\overline {AH}}=\frac{h}{c}$sin(180−α)=BHAH​=hc​​
$h=c\sin \left(180-\alpha \right)$h=csin(180−α)​
$A=\frac{1}{2}ac\sin \left(180-\alpha \right)$A=12​acsin(180−α)​

한변의 길이와 양끝각의 크기를 이용

-둔각삼각형

위의 경우와 마찬가지로 점A에서 선분BC의 연장선에 수선을 내립니다.

△AHC에서

 
$\angle CAH=90\cir -\alpha $∠CAH=90°−α​
$\tan \left(90\cir -\alpha \right)=\frac{\overline {CH}}{\overline {AH}}=\frac{\overline {CH}}{h}$tan(90°−α)=CHAH​=CHh​​
$\overline {CH}=h\tan \left(90\cir -\alpha \right)$CH=htan(90°−α)​

△AHB에서

 
$\angle ABH=180\cir -\beta $∠ABH=180°−β​
$\angle BAH=180\cir -90\cir -\left(180\cir -\beta \right)$∠BAH=180°−90°−(180°−β)​
$=\beta -90\cir $=β−90°​
$$​
$\tan \left(\beta -90\cir \right)=\frac{\overline {BH}}{\overline {AH}}=\frac{\overline {BH}}{h}$tan(β−90°)=BHAH​=BHh​​
$\overline {BH}=h\tan \left(\beta -90\cir \right)$BH=htan(β−90°)​
$$​
$\overline {BC}=\overline {CH}-\overline {BH}$BC=CH−BH​
$\ \ \ \ a=h\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)$    a=htan(90°−α)−htan(β−90°)​
$\ \ \ \ \ =h\left\{\combi{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-\tan \left(\beta -90\cir \right)}\right\}$     =h{tan(90°−α)−tan(β−90°)}​
$h=\frac{a}{\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$h=a{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​
$$​

∴ △ABC의 넓이

 

 
$A=\frac{1}{2}a\frac{a}{\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$A=12​aa{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​
$=\frac{a^2}{2\left\{\tan \left(90\cir -\alpha \right)-h\tan \left(\beta -90\cir \right)\right\}}$=a22{tan(90°−α)−htan(β−90°)}​​

 

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삼각형의 세변의 길이를 알때 헤론의 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

$A=\sqrt{\left(s\left(s-a\right)\left(s-b\right)s-c\right)}$A=√(s(s−a)(s−b)s−c)​
$여기서,\ s=\frac{a+b+c}{2}$여기서, s=a+b+c2​​

s를 대입하여 A를 표현하면,

$A=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$A=14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(\combi{a}^2\combi{b}^2+\combi{a}^2c^2+b^2c^2\right)-\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√2(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2-2\left(\combi{a}^4+b^4+\combi{c}^4\right)}$A=14​√(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)​
$A=\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{\combi{b}^2\left(\combi{a}^2+b^2+\combi{c}^2\right)}^2}$A=14​√4a2b2(a2+b2+c2)2​
$$​

이 된다.

​

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

삼각함수를 이용한 증명

$A=\frac{1}{2}ab\sin C\ ...\left(1\right)$A=12​absinC ...(1)​

에서 코사인 법칙을 이용하면,

 
$\combi{c}^2=\combi{a}^2+\combi{b}^2-2ab\cos C$c2=a2+b2−2abcosC​
$\cos C=\frac{\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2}{2ab}$cosC=a2+b2−c22ab​​
$\sin ^2C+\cos ^2C=1$sin2C+cos2C=1​
$\sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}$sinC=√1−cos2C​
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}{4\combi{a}^2\combi{b}^2}}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)24a2b2​​
$$​
$\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$        =√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​

(1)식에 대입하여 정리하면,

$A=\frac{1}{2}ab\times \frac{\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}}{2ab}$A=12​ab×√4a2b2−(a2+b2−c2)22ab​​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{4\combi{a}^2\combi{b}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√4a2b2−(a2+b2−c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\combi{\left(2ab\right)}^2-\combi{\left(\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}^2}$  =14​√22−(a2+b2−c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab-\combi{a}^2-\combi{b}^2+\combi{c}^2\right)\combi{\left(2ab+\combi{a}^2+\combi{b}^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(2ab−a2−b2+c2)2​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\combi{c}^2-\left(a-b\right)^2\right)\combi{\left(\left(a+b\right)^2-\combi{c}^2\right)}}$  =14​√(c2−(a−b)2)((a+b)2−c2)​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(c-a+b\right)\left(c+a+b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}$  =14​√(c−a+b)(c+a+b)(a+b−c)(a+b+c)​
$\ \ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}$  =14​√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​

피타고라스의 정리를 이용한 증명

$\righttriangle AHC에서\ \combi{b}^2=\left(a-x\right)^2+h^2\ \cdot \cdot \cdot ①$⊿AHC에서 b2=(a−x)2+h2 ···①​
$\righttriangle AHB에서\ c^2=\combi{x}^2+\combi{h}^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ②$⊿AHB에서 c2=x2+h2            ···②​
$\righttriangle ABC=\frac{1}{2}ah\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ③$⊿ABC=12​ah                            ···③​
$$​
 
$①식-②식$①식−②식​
$b^2-c^2=a^2-2ax+x^2+h^2-\left(x^2+h^2\right)$b2−c2=a2−2ax+x2+h2−(x2+h2)​
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-2ax$            =a2−2ax​
$x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ④$x=a2−b2+c22a​                        ···④​
$④식을\ ②식에\ 대입하면$④식을 ②식에 대입하면​
$\ c^2=\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2+h^2$ c2=(a2−b2+c22a​)2+h2​
$h^2=\ c^2-\frac{\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}$h2= c2−(a2−b2+c2)24a2​​
$=\ \frac{4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2}{4a^2}\ \ \ \ \ \cdot \cdot \cdot ⑤$= 4a2c2−(a2−b2+c2)24a2​     ···⑤​
 
$4a^2h^2=\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)$4a2h2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)​
$A=\frac{1}{2}ah=\sqrt{\frac{4a^2h^2}{16}}$A=12​ah=√4a2h216​​
$=\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{16}}$=√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16​​
$=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$=√s(s−a)(s−b)(s−c)​
 

 

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수학을 시험을 치르다 보면 방정식문제던 함수 문제던 난이도가 높아 질 수록 삼각형의 넓이를 구하라는 문제가 나오는 경우를 자주봅니다.

​

이번에 초등학교때 배웠던 밑변과 높이를 구할 수 있으면 쉽게 풀 수 있지만 그렇지 못할 경우엔 문제를 풀기가 까다로워지는 경우가 많습니다.

​

짱샘과 같이 삼각형 넓이를 구하는 여러 가지 방법을 알아보고 그 증명도 같이 해 봅시다.

$A=\frac{1}{2}bh$

$A=\frac{1}{2}bh$A=12​bh​

 

초등학교 과정에서 배우는 가장 기초가 되는 삼각형의 넓이 구하는 공식입니다.

이 방법은 넓이의 기본인 사각형의 넓이를 이용한 방법입니다. 삼각형의 넓이가 사각형의 넓이의 반이 된다는 것을 이용한 것이죠.

                                

이 방법에서 삼각형의 넓이는 밑변과 높이가 같으면 넓이가 같다는 것을 알수 있습니다.

다시 말하면,

평행한 두 직선 l과 m에서 직선m위의 두점 B,C와 직선l위의 한점으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.

여기에서 더 생각해 보면

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.

 

즉, BC:CD=m:n 이면​
$\triangle ABC\ :\ \triangle ACD=m:n$△ABC : △ACD=m:n​
$\triangle ABC=\frac{1}{2}mh,\ \triangle ACD=\frac{1}{2}nh이므로$△ABC=12​mh, △ACD=12​nh이므로​
$\triangle ABC:\triangle ACD=\frac{1}{2}mh:\frac{1}{2}nh=m:n$△ABC:△ACD=12​mh:12​nh=m:n​
이 됩니다.

 

​

 

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