하양짱샘수학이야기

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다이슨은 양자 전기역학(quantum electrodynamics) 이론에 공헌한 영국계 미국인 물리학자로 프린스턴(Princeton) 명예 교수이자 다양한 과학 단체의 회원이었다.

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다이슨의 죽음은 그의 딸 미아 다이슨(Mia Dyson)에 의해 뉴저지 프린스턴 최고 연구기관인 IAS(Institute of Advanced Study)를 통해 발표됐다. IAS는 과학계 거장 엘버트 아인슈타인(Albert Einstein), 로버트 오펜하이머(J. Robert Oppenheimer) 등이 몸담았던 곳이다.

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발표에 따르면 다이슨은 1953년부터 1994년까지 근무했던 IAS 정기 방문 중 실수로 넘어지면서 부

상을 입었고, 금요일 아침 병원에서 사망했다.

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IAS의 레온 레비(Leon Levy) 디렉터 로버트 디크그라프(Robbert Dijkgraaf)는 “(다이슨은) 현대 입자 물리학, 자유 수학자, 우주 여행 옹호자, 우주 생물학 및 군비 해체, 미래 학자, 영원한 대학원생”이라며 “사려 깊은 아이디어로 많은 선입견에 반항했다. 항상 인간 현장을 현명하게 관찰하는 수필가였다. 그의 비밀은 단순히 끝까지 인생의 모든 것을 긍정한 것”이라고 말했다.

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다이슨은 1923년 12월 15일 영국 버크셔에서 태어나 17세에 케임브리지대 트리니티 칼리지에 입학했다. 제 2차 세계 대전 중에 그는 학계에서 선발된 왕립 공군의 과학자로 일했다. 전쟁 후, 그는 캠브리지로 돌아와 학위를 마쳤다.1947년, 그는 코넬대에서 박사 학위를 받기 위해 미국으로 이주, 뉴 멕시코 로스알라모스에서 미국의 비밀 핵폭탄 연구실에서 중요한 역할을 한 선구자 핵 물리학자 한스 베쓰(Hans Bethe)와 함께 공부했다.

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다이슨은 입자 물리학 및 천체 물리학에서 우주 여행, 생물학 및 기후 변화 등 과학의 여러 분야에서 수학적 역량을 발휘했다.

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맥스 테그마크(Max Tegmark) MIT 물리 및 AI 교수는 “다음 달에 프리먼 다이슨을 다시 방문 할 계획이었고, 오늘 우리가 이 과학의 거장을 잃어버린 것에 대해 슬프다. 그에게 너무 크거나 너무 거친 아이디어는 없었으며, 가장 작은 빌딩 블록을 알아내는 데 있어 주요한 주류 연구 외에도 별 빛을 수확하는 다이슨 구(Dyson spheres)를 착안, 우리의 원거리 과학에 대한 최초의 철저한 과학적 분석을 발표했다”고 SNS 링크드인에 밝혔다.

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이어 테그마크는 “그의 가장 큰 공헌은 아원자 입자와 파인만 다이어그램(Feynman diagrams)의 구불구불한 선과의 상호 작용을 설명하는 수학적 공식을 통합한 것”이라며 “노벨상 수상자 스티븐 와인버그(Steven Weinberg)는 우주가 이해하기 쉬울수록 무의미 해 보인다고 말한 반면 프리먼은 훨씬 더 낙관적이었다. 비록 그는 우리 우주가 무의미하다는 데 동의했지만, 생명체가 우주를 통해 퍼져 나가면 인생이 이제는 더 많은 의미로 채워지고 있다고 주장했다. 동의한다”고 밝혔다.

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미아 다이슨은 “당신은 세상이 그의 눈을 통해 아름다운 곳이라고 말할 수 있었고, 물리학 연구를 통해 모든 공식과 자연 법칙 및 모든 신비를 이해하고 있었다”고 말했다.

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저서로는 《상상의 세계》 (Imagined Worlds)

《에로스에서 가이아까지》 (From Eros to Gaia)

《프리먼 다이슨, 20세기를 말하다》(Disturbing the Universe)이 있다.

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두 개의 양수 a, b의 최대공약수를 구하는 데에는, 모두들 알고 있는 것처럼, a, b를 소인수분해하면 됩니다.

그러나 이것도 우리가 책상 위에서 종이와 연필만으로 큰 수의 최대공약수를 구하는것은 그리 간단히 되지 않을 수 있습니다. 두 개의 양수 a, b의 최대공약수를 구하는 데에, 좀 더 실질적인 방법은 “유클리드의 호제법" 입니다.

그럼 #유클리드 호제법은 어떤 것인지 알아봅시다.

a ≥ b이고, a를 b로 나눈 몫을 q, 나머지를 r이라 하면.

a=bq+r, 0≤ r <6 입니다. 이 때, 만약 r = 0이라면, 즉 a가 b로 나누어떨어지면, b가 a와 b의 최대공약수입니다.

또, 만약 r >0이면, 위의 식에서 r=a-bq이므로, e를 a, b의 임의의 공약수라 하면, 우변의 a-bq가 e로 나누어떨어지고, 따라서 r이 e로 나누어 떨어집니다.

그러므로 e는 b와 r의 공약수가 됩니다.

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한편, e'를 b, r의 임의의 공약수라 하면, a=bq+r이라는 식에서 e`는 a를 나누어 떨어지게 하고, 따라서 e'는 a, b의 공약수가 됩니다. 이것으로 a와 b의 공약수는 b와 r의 공약수이고, 역으로 b와 r의 공약수는 a와 b의 공약수임을 알 수 있습니다.

따라서 "a, b의 공약수 전체의 집합”은 “b, r의 공약수 전체의 집합” 과 일치합니다. 이것으로부터 특히

(a, b의 최대공약수) = (b, r의 최대공약수)

임을 알 수 있습니다.

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다음에 b를 r로 나눈 나머지를 r₁라 하고, 위에서 설명 한 것과 같은 형태의 이유로, r₁=0이라면 r이 b와 r의 최대공약수가 되고, r₁> 0 이라면

가 됩니다. 이 방법을 나누어 떨어질 때까지 계속하면, 유한번의 나눗셈에 의해서 반드시 a, b의 최대공약수를 구 할 수 있습니다.

이 방법이 유클리드의 호제법입니다. 이것은 옛날부터 알려져 있는 유명한 방법입니다. 유클리드의 “원론" 이라는 책 속에 소개되어 있습니다.

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한 예로서, 247과 962의 최대공약수를 유클리드의 호 제법에 의해 구해 봅시다.

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따라서 247, 962의 최대공약수는 13입니다.

위의 계산을 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

이 계산 방식을 “비(非)자 법"이라고 합니다. 그리고 보니, 한자의 非자와 닮았습니다.

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이런 모습의 제곱근은 소인수 분해로 쉽게 구할 수 있습니다. 그런데 제곱근 표의 근사치 값들은 어떻게 구할 수 있을까요? 그걸 다 외울 수도 없고 그 근사치값을 쉽게 구하는 방법을 알아보겠습니다.

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① 근호안의 숫자를 소수점을 기준으로 두 자리씩 나눕니다. 10² = 100 이므로 두자리 씩 나누는것입니다.

② 소수점 두 자리씩의 숫자의 맨 왼쪽 수를 넘지 않는 가장 큰 정수의 제곱근을 찾습니다.

5² = 25, 4² = 16이므로, 17을 넘지 않는 최대의 제곱근은 4입니다. 아래와 같이 4를 17위에 적고, 왼쪽에 4를 적고, 그 밑에 똑같이 4를 적습니다. 그리고 두 수를 더한값 8을 아래에 적습니다.

③ 위 그림에서 처럼 17-16=1 적습니다.

④ 8□×□가 100을 넘지 않는 최대 정수를 찾습니다. 82×2=164가 되므로 □=1입니다. 이 1을 소숫점을 기준으로 나눈 자릿수에 마추어 적어줍니다.

⑤ 19의 오른쪽에 소숫점 두 자리 수를 내려 1900이라 적습니다. 822×2=1644, 823×3=2469이므로 윗줄 1 뒤에 2를 적습니다. 그러면 4.12가 됩니다.

이같은 방법으로 더 근사한값을 구할수도 있고 다른 제곱근값을 구할 수도 있습니다.

# 확률이란 무엇일까? 초등학교 수학 교과서에서는 ‘모든 경우의 수에 대한 어떤 사건이 일어날 경우의 수의 비율’을 확률이라고 나옵니다.

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예를 들어 하양짱샘이 1에서 6까지의 수가 쓰여진 주사위를 한 번 던질 때 나오는 눈의 경우는 1이 나오는 경우, 2가 나오는 경우, … 6이 나오는 경우의 여섯 가지가

있죠.

그러나 이와 같은 비율로 모든 확률이 정해지는 것은 아닙니다.

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윷을 던지는 것을 생각해 볼까요? 윷 한 짝을 던질 때 앞면이 나오거나 뒷면이 나옵니다. 그러므로 모든 경우의 수는 2이므로, 교과서의 정의대로 하면 안면이 나올 확률은1/2이 됩니다. 그러나 우리는 경험적으로 안면이 나올 가능성과 겉면이 나올 가능성은 다르다는 것을 알고있습니다. 이것은 안면과 겉면의 모양이 다르기 때문이죠. 그러므로 교과서에서처럼 확률을 정의하려면 모든 사건이 일어날 가능성이 같아야 합니다. 즉, 주사위나 동전을 던질 때 혹은 로또복권 추첨처럼 크기와 모양, 무게가 똑같은 구슬을 고를 때와 같은 경우에 교과서와 같은 방법으로 확률이 정해집니다.

윷과 같이 모양이나 크기가 달라서 일어날 가능성이 다른 경우에는 여러 번 던져서 나온 비율로 확률을 정하게 되는데요, 이를 통계적 또는 경험적 확률이라 합니다.

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윷의 경우에는 10번 던질 때 앞이 6번 이상 나온다고 합니다. 그러므로 윷 한 짝을 던질 때 겉면이 나올 확률은 0.6 이상이 되죠. 편의상 이 확률을 0.6이라고 할 때, 윷 네 짝을 동시에 던지는 윷놀이를 하면, 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률은 다음과 같습니다.

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도가 나올 확률은 0.6×0.6×0.6×0.4×4=0.3456

개가 나올 확률은 0.6×0.6×0.4×0.4×6=0.3456

걸이 나올 확률은 0.6×0.4×0.4×0.4×4=0.1536

윷이 나올 확률은 0.4×0.4×0.4×0.4×1=0.0256

모가 나올 확률은 0.6×0.6×0.6×0.6×1=0.1296

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이런 확률을 알고 윷놀이를 하면 놀이를 좀 더 잘 하게 되지는 않을까요?

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이처럼 하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수로 나타낸 것. 즉, 동일한 원인에서 특정한 결과가 나오는 비율을 뜻합니다.

그럼 다음엔 # 사건에 관하여 알아보도록 할까요?

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